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让足球转动保持前后位置的足球图案完全重合的旋转和正二十面体群是一致的，它们是：
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①绕6对相对正五边形中心连线作旋转，共24种。
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②绕10对相对正六边形中心连线作旋转，共20种。
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③绕15对相对的正六边形公共棱的中心连线作π旋转，共15种。
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④一动不动的旋转，共1种。
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足球的上述60种旋转构成一个群，也就是接连做任意两个这种旋转，得到的还是属于其中的一种旋转。
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（8）如何画出足球的图案
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足球上共有60个顶点。如果我们能够求得这60个顶点的坐标，则不难用计算机画出足球的平面投影图。
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【问题】如何计算各顶点的坐标？
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【分析】
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假定初始的正二十面体的12个顶点如前面的计算那样放置。将足球上60个顶点从上到下分层编号，上半球面的30个点是：
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v11,v12,v13,v14,v15, v21,v22,v23,v24,v25, v31,v32,v33,v34,v35,v36,v37,v38,v39,v310, v41,v42,v43,v44,v45,v46,v47,v48,v48,v410.
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利用已知数据和足球的旋转可以从上到下求出各点坐标。足球上顶点的坐标如下：
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v11=(0.343,0,0.939) v12=(0.106,0.326,0.939) v13=(-0.278,0.202,0.939) v14=(-0.278,-0202,0.939) v15=(0.106,-0.326,0.939) v21=(0.687,0,0.727) v22=(0.212,0.653, 0.727) v23=(-0.555,0.403, 0.727) v24=(-0.555,-0.403, 0.727) v25=(0.212,-0.653, 0.727) v31=(0.793,-0.326,0.515) v41=(0.965,-0.202, 0.172) v42=(0.965,0.202, 0.172) v32=(0.793,0.326, 0.515) v33=(0.555,0.654,0.515) v34=(-0.065,0.855 ,0.515) v35=(-0.450,0.730,0.515) v36=(-0.833,0.202,0.515) v37=(-0.833,-0.202,0.515) v38=(-0.450,-0.730,0.515) v39=(-0.065,-0.855,0.515) v310=(0.555,-0.654,0.515) v43=(0.490,0.855, 0.172) v44=(0.106,0.980, 0.172) v45=(-0.662,0.730, 0.172) v46=(-0.900,0.404 , 0.172) v47=(-0.900,-0.404, 0.172) v48=(-0.662,-0.730, 0.172) v49=(0.106,-0.980, 0.172) v410=(0.490,-0.855, 0.172)
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（9）足球拓扑图
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在绘制三维足球立体图之前，先来看看足球拓扑图，足球拓扑图可以看做是三维足球的一个正视图，并且将视图中的虚线绘制成实线，从而构成平面的几何拓扑图。
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绘制足球拓扑图，编程如下：
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％绘制足球网络拓扑图
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%绘制足球网络拓扑图 clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 [a,v]=bucky; %调用系统工具箱，计算各顶点坐标 H=sparse(60,60); %稀疏矩阵 gplot(a-H,v,‘r-‘); %足球拓扑图 hold on gplot(H,v,‘bo-‘)
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运行程序输出图形如图5-51所示。
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图5-51 足球网络拓扑图
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（10）足球三维实体
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