1701007830
1701007831
f（t）一般受两个因素影响：一是运动员自身所能发挥的最大冲力F，有f（t）≤F；二是单位时间内所需要的能量（即体能的消耗速度）fv，其中f为运动员的冲力，v为速度，该能量是由身体提供的等价氧气决定的。
1701007832
1701007833
记E（t）为身体肌肉内储存的氧气与等价的能量，ζ为单位时间内提供的与氧气等价的能量。由于ζ与fv之差为E（t）的变化率，则有：
1701007834
1701007835
1701007836
1701007837
1701007838
这里E0为体内储存能量的初始值。
1701007839
1701007840
于是问题可归结为：假设已知4个生理参数F、μ、ζ、E0和外界参数υ，求v（t），使得当T为定值时，距离D最大。
1701007841
1701007842
根据赛跑的特点，可将上述问题的3个阶段分为4种情形。在赛跑的初段以f（t）作为控制量，选定f（t），求其他函数，赛跑的终段以E（t）为控制量，在赛跑的中段可分为顺风与逆风两种情形。
1701007843
1701007844
下面分别进行讨论。
1701007845
1701007846
（1）赛跑初段
1701007847
1701007848
赛跑初段是指时间t阶段，0≤t≤T1。欲使v（t）迅速增加，此时应以最大冲力F加速跑，即令F＝f（t），则有，
1701007849
1701007850
1701007851
1701007852
1701007853
这是一阶线性微分方程的Cauchy问题，其解为：
1701007854
1701007855
1701007856
1701007857
1701007858
将v（t）代入E（t）表达式得，
1701007859
1701007860
1701007861
1701007862
1701007863
其解为：
1701007864
1701007865
1701007866
1701007867
1701007868
1701007869
式中应有，否则当t→∞时，E（t）→∞。
1701007870
1701007871
而实际中运动员的能量是有限的，显然该结论错误。
1701007872
1701007873
设Tt为方程E（t）＝0的解，表示冲刺不得超过的时间。若T≤Tt，则运动员在赛跑全程均以最大冲力F赛跑，仍符合条件E（t）≥0。此时整个赛跑可看作只有冲刺阶段，即令T1＝T，则最优速度v（t）为，
1701007874
1701007875
1701007876
1701007877
1701007878
当4个生理参数和风力给定后，可得冲刺距离，
1701007879