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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004228]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 6.9 运动员如何以最优速度赛跑
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运动员如何以最优速度赛跑，这是一个数学物理模型。
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数学和物理都是历史悠久的自然学科，数学和物理科学作为自然科学的重要分支，不仅对物质文明的进步和人类对自然界认识的深化起了重要的推动作用，而且对人类的思维发展也产生了不可或缺的影响。从亚里士多德时代的自然哲学，到牛顿时代的经典力学，直至现代物理中的相对论和量子力学等，都是物理学家科学素质、科学精神及科学思维的有形体现。
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运用现代数学方法研究体育运动始于20世纪70年代，Keller首先建立了运动员赛跑模型，将其理论用于运动员中长跑训练取得了优异的成绩。同时，美国计算机专家Ails以力学、数学和计算机为工具对铁饼投掷技术进行研究，提出了新的投掷技术与改进后的训练措施，使运动员在很短的时间内取得了辉煌成绩。因此，现代训练技术将有助于运动员快速提高比赛成绩。
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为了较好的研究运动员如何进行以最优速度赛跑，假设比赛距离为D，运动员所跑时间为T，速度为v（t）；比赛时风力w与速度v成正比，比例系数为；赛跑时体内阻力和体外的空气阻力r与速度v（t）成正比，比例系数为；考虑运动员的4个生理参数，最大冲力F、体内外的阻力系数μ、由氧气的新陈代谢作用提供能量的速度ζ和体内储存能量的初始值E0。
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由于大多数田赛都是在室外进行的，考虑人体4个生理参数和风力影响的情况下，建立了全新的最优速度模型和能量消耗模型，并将其应用于实际赛跑。
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由积分学理论知，比赛距离为：
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速度v（t）受运动员的体力和赛跑时阻力的制约，设运动员的冲力为f（t），由Newton第二定律得m·a＋r＋w＝f，即：
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其中，与分别为适当的阻力系数，a为加速度，m为运动员的质量。
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因为冲力f（t）是由运动员自身控制的，如血液对肌肉的供氧、肌肉的收缩及身体的上下运动等，所以问题可转化为寻找f（t）的最优控制策略，即当T一定时，D达到最大。
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f（t）一般受两个因素影响：一是运动员自身所能发挥的最大冲力F，有f（t）≤F；二是单位时间内所需要的能量（即体能的消耗速度）fv，其中f为运动员的冲力，v为速度，该能量是由身体提供的等价氧气决定的。
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记E（t）为身体肌肉内储存的氧气与等价的能量，ζ为单位时间内提供的与氧气等价的能量。由于ζ与fv之差为E（t）的变化率，则有：
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这里E0为体内储存能量的初始值。
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于是问题可归结为：假设已知4个生理参数F、μ、ζ、E0和外界参数υ，求v（t），使得当T为定值时，距离D最大。
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根据赛跑的特点，可将上述问题的3个阶段分为4种情形。在赛跑的初段以f（t）作为控制量，选定f（t），求其他函数，赛跑的终段以E（t）为控制量，在赛跑的中段可分为顺风与逆风两种情形。
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下面分别进行讨论。
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（1）赛跑初段
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赛跑初段是指时间t阶段，0≤t≤T1。欲使v（t）迅速增加，此时应以最大冲力F加速跑，即令F＝f（t），则有，
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