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设f（θ）、g（θ）是［0，2π］上θ的非负连续函数，若，有f（θ）g（θ）＝0，且g（0）＝0，f（0）＞0，，，则，使f（θ0）＝g（θ0）＝0。
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令h（θ）＝f（θ）-g（θ），则：
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再由f（θ），g（θ）的连续性，得到h（θ）是一个连续函数，从而h（θ）是上的连续函数。
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由连续函数的中值定理：，使h（θ0）＝0，即，使f（θ0）＝g（θ0）。
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又因为，有f（θ）g（θ）＝0，故：
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因此，至多旋转90°就可找到放稳点。
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当然，对于四条脚不一样长的椅子能否放稳呢？答案是否定的。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004230]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 6.11 拱形圆顶与椭圆顶哪个更划算
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某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰清真寺，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。因年久失修，国王下令将清真寺顶部重新贴金箔装饰。
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据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30米。考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比清真寺顶部面积多1.5％。据此，国王的财政大臣拨出了可制造5800平方米有规定厚度金箔的黄金。
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建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。于是他以较低的承包价得到了这项装饰工程。但在施工前的测量中，工程师发现清真寺顶部实际上并非一个精确的半球面，而是一个半椭球面，其半立轴恰是30米，而半长轴和半短轴分别是30.6米和29.6米。这一来，哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至可能短缺，最后的结果究竟如何呢？
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【问题】拱形圆顶与椭圆顶哪个更划算？
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【分析】
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在此模型中假设金箔的损耗包括可能的损耗和其他技术因素，不包括施工过程中，外界的因素致使大量的金箔无法使用等。
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在此，考虑整个球或椭圆球的情形。半径为30米的球与半立轴是30米，半长轴和半短轴分别是30.6米和29.6米的椭圆球如图6-16和图6-17所示。
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图6-16 清真寺圆顶 图6-17 清真寺椭圆体顶 （1）对于球半盖，其方程为：