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又因为,有f(θ)g(θ)=0,故:
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因此,至多旋转90°就可找到放稳点。
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当然,对于四条脚不一样长的椅子能否放稳呢?答案是否定的。
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我和数学有约:趣味数学及算法解析 6.11 拱形圆顶与椭圆顶哪个更划算
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某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰清真寺,它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。因年久失修,国王下令将清真寺顶部重新贴金箔装饰。
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据档案记载,大厅的顶部形状为半球面,其半径为30米。考虑到可能的损耗和其他技术因素,实际用量将会比清真寺顶部面积多1.5%。据此,国王的财政大臣拨出了可制造5800平方米有规定厚度金箔的黄金。
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建筑商人哈桑略通数学,他计算了一下,觉得黄金会有盈余。于是他以较低的承包价得到了这项装饰工程。但在施工前的测量中,工程师发现清真寺顶部实际上并非一个精确的半球面,而是一个半椭球面,其半立轴恰是30米,而半长轴和半短轴分别是30.6米和29.6米。这一来,哈桑犯了愁,他担心黄金是否还有盈余?甚至可能短缺,最后的结果究竟如何呢?
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【问题】拱形圆顶与椭圆顶哪个更划算?
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【分析】
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在此模型中假设金箔的损耗包括可能的损耗和其他技术因素,不包括施工过程中,外界的因素致使大量的金箔无法使用等。
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在此,考虑整个球或椭圆球的情形。半径为30米的球与半立轴是30米,半长轴和半短轴分别是30.6米和29.6米的椭圆球如图6-16和图6-17所示。
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图6-16 清真寺圆顶 图6-17 清真寺椭圆体顶 (1)对于球半盖,其方程为:
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上式变形如下,仅求解上半球的表面积:
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求方程中z对x、y偏导数为:
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则球半盖的表面积积分为:
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