打字猴:1.70100798e+09
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1701007983 图6-15 椅子四角放置平面图
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1701007985 对角线AC与x轴重合,用中心点O的转角θ表示椅子的位置,用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,注意到对称性及有三个脚同时着地,故用距离之和来表示。
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1701007987 设A、C两脚与地面距离之和为f(θ),B、D两脚与地面距离之和为g(θ),显然,
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1701007993 地面可视为数学上的连续曲面,f(θ)和g(θ)都是θ的连续函数;椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,,f(θ),g(θ)至少有一个为零,即:
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1701007998 为讨论方便起见,不妨设g(0)=0,f(0)>0。
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1701008002 将椅子旋转90°,对角线AC与BD互换,由g(0)=0,f(0)>0,得到,。
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1701008004 而同时着地可表述为:
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1701008008 ,使
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1701008010 这样椅子放稳问题可归结为如下命题。
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1701008016 设f(θ)、g(θ)是[0,2π]上θ的非负连续函数,若,有f(θ)g(θ)=0,且g(0)=0,f(0)>0,,,则,使f(θ0)=g(θ0)=0。
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1701008018 令h(θ)=f(θ)-g(θ),则:
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1701008024 再由f(θ),g(θ)的连续性,得到h(θ)是一个连续函数,从而h(θ)是上的连续函数。
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1701008028 由连续函数的中值定理:,使h(θ0)=0,即,使f(θ0)=g(θ0)。
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