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计算机求解多元方程组的根，常用的方法有Gauss消元法、高斯-赛德尔迭代法、追赶法和雅克比迭代法等，在此将详细介绍高斯消元法。
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Gauss消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。
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对于Gauss消元法，总结一般的求解步骤，如以下n阶方程组。
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则有Gauss消元法最终结果如下：
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使得矩阵左下角值全为0，然后依次求解每个值。
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用Gauss消元法求解下列方程组：
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写成矩阵的形式如下：
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由方程组书写成矩阵得：
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采用gauss_x()函数进行求解，程序如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 format rat; %分数显示 A = [6 2 -1; %方程系数矩阵 1 4 -2; -3 1 4]; B1 = [-3,2,4]’; %方程右边b矩阵 x1 = gauss_x(A,B1)
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其中Gauss消元法函数程序如下：
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function x = gauss_x(A,B) %A为函数系数矩阵； %B为函数值矩阵； %x为求得未知量值； format rat C = [A,B]; nc = size(C); %求C的行列数 for j = 1 : nc(1,2)-2 %列数 for i = j+1 : nc(1,1) %行数 C(i,:) = -C(j,j)./C(i,j) .*C(i,:) + C(j,:); %每行元素进行消元法 end end switch nc(1,1) case 1 %1个未知数求解，1阶方程 x(1) = C(1,end)/C(1,end-1); case 2 %2个未知数求解，2阶方程 x(2) = C(2,end)/C(2,end-1); x(1) = ( C(1,end)-C(1,end-1)*x(2) )/ C(1,end-2); x=[x(1);x(2)]; case 3 %3个未知数求解，3阶方程 x(3) = C(3,end)/C(3,end-1); x(2) = ( C(2,end)-C(2,end-1)*x(3) )/ C(2,end-2); x(1) = ( C(1,end)-C(1,end-1)*x(3)- C(1,end-2)*x(2))/ C(1,end-3); x=[x(1);x(2);x(3)]; case 4 %4个未知数求解，4阶方程 x(4) = C(4,end)/C(4,end-1); x(3) = ( C(3,end)-C(3,end-1)*x(4) )/ C(3,end-2); x(2) = ( C(2,end)-C(2,end-1)*x(4)- C(2,end-2)*x(3))/ C(2,end-3); x(1) = ( C(1,end)-C(1,end-1)*x(4)- C(1,end-2)*x(3)-C(1,end-3)* x(2))/ C(1,end-4); x=[x(1);x(2);x(3);x(4)]; case 5 %5个未知数求解，5阶方程 x(5) = C(5,end)/C(5,end-1); x(4) = ( C(4,end)-C(4,end-1)*x(5) )/ C(4,end-2); x(3) = ( C(3,end)-C(3,end-1)*x(5)- C(3,end-2)*x(4))/ C(3,end-3); x(2) = ( C(2,end)-C(2,end-1)*x(5)- C(2,end-2)*x(4)-C(2,end-3)* x(3))/ C(2,end-4); x(1) = ( C(1,end)-C(1,end-1)*x(5)- C(1,end-2)*x(4)-C(1,end-3)* x(3)-C(1,end-4)*x(2))/ C(1,end-5); x=[x(1);x(2);x(3);x(4);x(5)]; end end
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运行程序输出结果如下：
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x1 = -8/11 80/99 25/99
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整理易得到：
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和手工计算是一样的。
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