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1701011820 在处理日常生活中的简单事务时,我们也许不需要掌握很多数学知识,而绝大多数人除了掌握一点儿算术知识以外,就对数学一无所知了。但是,在科学家和工程师努力了解事物的作用原理,并在此基础上构建产品时,数学就成了一个功能强大的工具,可以为他们提供灵感。没有数学,人们就难以理解自然世界并做出各种预测;没有数学,我用来写作本书的计算机以及为我们现代生活提供便利的其他科技也将不复存在。
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1701011822 首先,数学与自然界的运行规律密切相关。例如,数字与可触知对象可以相互匹配。但是,随着时间的推移,数字与现实逐渐分离开来。文艺复兴时期,数学家逐渐意识到他们是在玩一个规模巨大的游戏,他们可以自行制定规则,然后推动游戏的进程,并观察最终的结果。从此以后,理论数学就如脱缰野马般奔腾而去,只剩下应用数学与现实世界继续保持着密切的联系。数学家的想法与他们创建的数学世界,有时具有实际应用价值,有时则与实际生活没有任何联系。这两个不同结果的出现具有随机性(现在,这种情况也基本没有发生很大的变化)。这个大型游戏有一个奇怪的特点:一方面,它是完全开放的;另一方面,它又表现出极强的限制性。数学研究覆盖哪些范围、可以制定哪些规则,全部取决于你,但是,一旦这些规则被认可,你就必须遵守。数学的世界里没有欺骗。
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1701011824 当我们考虑数字和现实的本质时,如果思维过于刻板,数学隐藏在深层次的随机性就有可能导致问题的发生。2015年,英国上诉法院(该法院的等级在英国法院系统中高居第二位)的三名法官在审理一个案件时,需要判断数字“1”的确切含义。当然,他们的判断与我们大多数人(甚至大多数的数学专业人士)的理解是不一样的。
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1701011826 这个案件是两家制药公司因为某种可以降低伤口敷料感染风险的化学溶液产生了纠纷,但是,令人意想不到的是,判决结果却导致英国法律修改了对数字“1”的定义。康维德公司生产的一种“浓度为1%—25%”的银基溶液受到专利保护,而它的竞争对手施乐辉公司生产的竞争产品是浓度为0.77%的银基溶液。后者认为,自己的产品不在竞争对手的专利保护范围之内。
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1701011828 早在2013年,这起纠纷就已经进入了审判程序。当时的法院认为,康维德专利保护范围下限中的“1”并不是表示“1”这个数值(即一个对象)。他们采用了一种在化学界比较常见但是在数学界并不多见的方法,认为这个值表示的是由两个有效数字界定的范围。根据这种“有效数字”规则,该一审法院认为0.95—1.5之间的所有数值都可以表示成“1”,而这种简单不对称的定义表明,施乐辉的产品没有触犯法律。上诉法院对这个说法感到不满,他们倾向于更为常见的就近取整法,也就是说,他们认为“1”代表0.5—1.499 9之间的任意数值。这个判决结果让施乐辉陷入了困境,也说明数学上的决定具有随机性。
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1701011830 除非我们坚定地认为1不多不少正好是1,否则“1”就会有不同的定义。因此,在律师看来,“1—25”的范围中包括0.5。上诉法院法官克里斯托弗·克拉克说:“语言学家可以认为‘一’表示‘正好是一,既不能多,也不能少’。但是,对于经常从事艺术活动的人而言,这个字在不同的语境里可以突破整数的限制,表示一个数值范围。”他的这番话并没有多少意义,因为我们都不清楚他到底是怎么想的。
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1701011832 长期以来,数学家在处理数学问题时一直表现出明显的创造性(在这一点上,他们与律师截然不同)。有的公司为了开发新产品,允许员工尝试各种各样的想法和技术。在大多数情况下,他们不会生产出与商业世界有关的产品,但是他们偶尔也会推陈出新,设计出完美的新产品。数学家的研究与之有几分相似。比如,在他们开始研究负数的平方根(参见第8章),也就是虚数时,他们实际上是将数学这个游戏推向了新的发展路径。但是,随着事情的发展,他们为这些神奇的数字制定的各种规则,却在物理学和工程技术等领域发挥了巨大的作用。
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1701011834 在引入虚数的概念之前,没有哪一位科学家或者工程师能够做出这样的预言:“我们希望求得负数的平方根,因为它可以帮助解决我们所面临的问题。”同样,在设想出虚数之前,数学界也没有人会这样想:“我们怎么解决摆在物理学家面前的这个问题呢?”数学家在提出新的概念以及制定一套相应的规则之后,通常不会很认真地考虑他的行为会引发哪些后果。但是,一段时间之后,各种应用就会应运而生。
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1701011836 总的来说,在19世纪之前,只要不是严重缺乏数学天赋,任何人都可以比较熟练地掌握数学这门基础的自然科学。根据我的经验,只要能学会分数的运算(很多人怎么都学不会,而且人数之多,实在令人吃惊),你就可以学会包括微积分基础(这门课程从名称上看似乎挺简单,但其实难度不小)在内的所有内容。但是,到了19世纪,数学领域发生了两个变化,从此以后,普通大众与科学之间就多了一道鸿沟。
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1701011838 第一个变化是,人们在数学中使用的方法越来越复杂,学生必须在课后投入大量的时间,才能掌握这些方法。比如,你可以随便挑选一篇现代物理方面的论文,文章中可能至少会有一个在中学数学中学不到的数学方法。爱因斯坦在研究广义相对论时,需要别人帮助他解决数学上的问题。这件事一点儿都不奇怪,因为数学本身非常难,超出了爱因斯坦的能力范围。他是自然科学领域的大师,但数学却是他比较陌生的领域。
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1701011840 让数学变得曲高和寡的第二个变化是它与科学研究的关系发生了逆转。在19世纪之前,数学一直是为科学研究提供服务的,但是到了20世纪,数学逐渐占据了主导地位。例如,人们从数学中的对称性出发,试图将自然界中各种作用力的研究统一起来,但是,随着研究的深入,人们越来越难以摆脱对技术术语的依赖,从而将外行人拒之门外。矩阵力学也是一个类似的例子。人们利用矩阵力学来解释量子行为,但是,这种方法很抽象,所以对于当时的科学界而言,矩阵力学基本上是一个非常陌生的内容,更不要说普通人了。最终,留在他们记忆中的就只是一堆数字和运算法则。
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1701011842 数学上取得的发展本身没有任何问题,但不幸的是,它们背上了沉重的包袱。如果普通人无法清楚地了解你所研究的科学,他们就不会轻易地同意政府将纳税人的钱投入这个领域。20世纪90年代,美国政府需要在资助国际空间站(ISS)还是支持超导超级对撞机(SSC)这两个方案中做出选择,他们做出的最终决定遭到了众多物理学家的诟病。SSC是一种大型粒子加速器,当时,已经在得克萨斯州启动了建造工作。诺贝尔奖得主、物理学家史蒂文·温伯格(Steven Weinberg)指出,SSC的规模比欧洲核子研究中心(CERN)的大型强子对撞机(LHC)还要大,研究水平领先后者有10年之多,研究成果必将有助于进一步了解宇宙的基本规律。最终却是ISS得到了资金支持,而SSC项目则被迫取消。与SSC不同的是,ISS可以帮助我们进一步探索太空和太空旅行的秘密,也许在未来会非常有价值,但是对于科学研究几乎没有任何贡献。
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1701011844 而且,截至目前,美国政府投入到ISS项目上的经费是SSC项目的10倍,而进展却十分缓慢。但是,政客们都非常清楚ISS项目到底是干什么的,负责拨付资金的人也可以听懂这些内容。凭借不同于SSC项目的这个特点,ISS项目在这次竞争中胜出。对撞机项目太复杂了,让那些政客理解相关内容太困难了。因此,科研资金支持的是对科学研究没有任何益处的ISS项目,而不是有助于美国在物理学领域保持世界领先地位的SSC项目。
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1701011846 最后,CERN和LHC赢得了本来属于SSC的荣誉。然而,从一定程度上看,这不过是一个毫无意义的胜利,因为他们同样面临那个难题:如何解释清楚LHC到底是干什么的。所谓的“重现大爆炸前的环境”、“寻找希格斯玻色子”,到底是什么意思呢?他们在使用这些术语时已驾轻就熟,但是向普通大众解释它们的确切含义并不是一件易事。通常,人们将希格斯玻色子描述成“使其他所有粒子具有质量的粒子”。从某些方面看,这个说法不能算错,但是它也不全对。如果不借助数学方法,我们甚至难以说清楚这个说法到底错在什么地方。问题是,一旦使用了数学术语,听众就会兴趣全无,再也不想听下去了。
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1701011848 我希望读完本书之后,大家不会产生数学难学的消极思想。本书将探讨数字是否真实存在的问题,在这个过程中,大家会发现,数学不仅饶有趣味,而且非常有用。数学在现代社会、现代科技的发展过程中起到了核心作用,但是,我们不应该因此对那些基础性问题视而不见。现代科学是不是过于强调数学的重要性了呢?马克斯·泰格马克等科学家甚至认为我们所在的世界就是一个数学世界,数字不仅真实存在,而且是促使世界运行的根本原因。这些科学家是否将数学与现实混为一谈了呢?数学到底是宇宙的核心内容,还是一个可以帮助我们了解周围世界的有效工具呢?在探讨数学是如何取得科学世界霸主地位的同时,我们就能找到这些问题的答案了。
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1701011850 但是,我们首先必须回到数学思维的起点。我们将沿用数学书籍的惯例,先做一个规则自定的游戏:假设我们可以发明数字。
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1701011852 [1]奥古斯丁(354—430),古罗马基督教思想家,教父哲学的重要代表人物,著有《忏悔录》《论自由意志》《论三位一体》等。——译者注
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1701011857 数学世界的探奇之旅 [:1701011744]
1701011858 数学世界的探奇之旅 第2章 史前人类的计数系统
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1701011863 你觉得有没有必要数一数自己的孩子,以便确定他们是真实存在的?应该没有必要吧。同样,人类社会早期的采猎者没有大型项目或商业活动的概念,对于他们来说,数字几乎没有任何意义。但是,随着人类定居下来并开始从事贸易活动,计数和记录结果的能力变得重要起来。首先,我们可以采用阿尔伯特·爱因斯坦的方式,通过思想实验的形式来理解这个问题。假设数字还没有出现,而我们的任务是发明这些数字。我们并不确定历史上数字是如何被创造出来的,但可以推测出这个历史过程的大概情况。
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1701011865 我们从计数开始。我们生活在一个高度重视数字的世界之中,因此,如果有人告诉你,计数其实并不一定需要有数字,你也许会觉得这个说法荒谬可笑。但是,事实确实如此。在研究集合论和无穷大时,我们就会遇到这种情况,因为我们经常会见到可数无穷大和不可数无穷大这样的概念,尽管两者都不指数字。我们暂且不考虑这些复杂的概念,而是集中精力了解做记号的计数方式为什么不需要借助数字。
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1701011867 假设我是一名史前农民,我生活的社会没有数字。邻居向我借山羊,我答应了他。(我不知道邻居为什么要借山羊,我对山羊以及史前农民也不甚了解。)我和邻居是朋友关系,我很信任他,但在朋友归还山羊时,我仍然希望找到一个办法,可以确定他如数将山羊还给了我。因此,我把手掌张开,五指伸直。在邻居从我的羊圈里赶出第一头羊时,我把小拇指收回到手心的位置。(小拇指弯曲时,无名指往往会随着小拇指一起弯曲,因此你可能需要用另一只手协助小拇指。掰手指是一种比较低级的计数方式,但是十分方便。)第二头羊离开羊圈时,我收回无名指。就这样,当第五头羊被赶出羊圈时,我把大拇指收回来,横扣在其他手指上面。这时候,邻居觉得羊已经够了。
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