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数学世界的探奇之旅 第3章 毕达哥拉斯：万物皆是数字
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传说中，毕达哥拉斯学派将一条座右铭刻在门楣上：万物皆是数字。毫无疑问，我们大多数人对毕达哥拉斯学派都非常陌生。关于这个古希腊学派，我们唯一确定的可能就是毕达哥拉斯定理，即直角三角形斜边边长的平方等于其他两边边长的平方和。其实，这条定理的基本概念早在毕达哥拉斯之前就已被人提出来了，但是，定理的证明可能要归功于毕达哥拉斯或者他的门徒。
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几何学（我将在第5章深入讨论）似乎是人类继整数计数之后最早探讨的一个数学领域。我们不清楚几何学起源的确切时间和具体过程。大多数古希腊人认为几何学源自埃及，但其实一些描述简单几何关系（如毕达哥拉斯定理）的相似概念，在巴比伦、美索不达米亚和东方出现的时间更早。古埃及把从事几何研究的人称作“司绳”（rope stretcher），暗示这门学科与从事建筑测量及土地分割的人员有关。几何学之所以成为人类较早研究的学科之一，从这个表达上也许可以略知一二。［现代英语中的“几何学”（geometry）一词源于希腊语中“地球”和“测量”这两个词。］但是，毕达哥拉斯及其门徒研究的并不是这种需要亲力亲为的实用数学。
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毕达哥拉斯出生于公元前570年左右，古希腊的数学研究就是从那个时期开始的。据说，毕达哥拉斯去过埃及。他从埃及人那里汲取了一些想法和概念，后来都被纳入毕达哥拉斯学派的信仰体系，该学派的主要成员被人称作数学家（mathematikoi）。前文的思想实验告诉我们，数字的起源可能与现实世界密切相关。毕达哥拉斯学派的功劳则是将这个概念提升到基本法则的高度，但与此同时，他们也将数学与简单数字区别开，使数学有可能摆脱束缚，无须直接应用于我们周围的物质世界。
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毫无疑问，毕达哥拉斯学派超越了计数的限制。他们认识到图形的重要作用，并将图形变成一个重要工具，从而拉开了现代数学与现代科学的漫长历史的序幕。从一定程度上看，所有人都会总结规律（事实上，对周围世界有反应的所有生物都会如此）。如果做任何事都需要从头学起，那么人生的复杂程度就会远胜当前。但实际情况并非如此。借助规律，我们不仅可以认识周围的世界，还可以对探知的一切做出反应。例如，假设我设计了一个可以打开卧室窗户的机器人。事实上，所谓的卧室窗户其实是一扇门，正对着一个法式小阳台。因此，我设计的这个机器人必须学会把钥匙插进位于墙上某个位置的锁孔，然后转动钥匙，再按下位于另一个位置的门把手，最后推开门。不仅如此，它还必须控制好力量的大小，以免损坏这扇门。
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我家客厅的窗户与之相同，但是位置不一样。如果我把这个机器人搬到客厅，那么尽管我编写的程序十分精确，但它仍然会找不到目标，也无法完成打开窗户这个任务。当然，如果客厅采用的是上下推拉式窗户，那么后果就会更加严重。在掌握门窗等事物的规律之后，我们就可以有针对性地采取应对措施，而不需要学习每一扇窗户的打开方法。
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规律在我们人类了解宇宙奥秘的过程中发挥了同样的作用，所有科学都在利用规律的基础上简化了理解过程。如果必须逐个地研究所有原子，我们将永远无法探知宇宙的秘密。但是，如果我们可以找出原子的一般规律，并将这条规律应用于所有原子上，我们的研究就可以取得进展。
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在毕达哥拉斯学派的鼎盛时期，古希腊人还没有提出原子的概念（“原子”一词源于希腊语中的atomos，意思是“不可分割的东西”），但是他们仍然强烈地感受到了规律的重要性，包括几何图形的规律、音乐和弦的规律和数字的某些规律。然而，他们对规律的利用达到了过犹不及的地步，这也是人类经常犯的一个错误。我们非常善于无中生有，总结出某种根本不存在的规律，包括视觉规律（例如，从一片阴影中看出一个妖怪）和统计规律（例如，我们总希望从一系列事件中总结出前因后果，即使这些事件纯粹是随机事件，毫无联系可言）。
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别忘了，毕达哥拉斯的这些门徒不仅仅是数学家，还是一个学派的成员，有独特而奇怪的信仰，例如，他们特别反感吃豆子。据说，这种信仰源于某些神秘的象征意义，因为豆子的外形与人类的某个器官相似，所以对于他们来说，吃豆子的行为与同类相食没有多大区别，这种行为对于这个素食主义教派而言是不合适的。
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在毕达哥拉斯的门徒看来，很多重要的规律都与整数密切相关。他们认为，宇宙万物的基础是数字，数字不仅是人类的发明创造，还揭示了现实世界的基本架构。与所有凭借一己之力在这个世界中谋取立足之地的生物一样，数字也被他们赋予了各种属性。例如，数字1与思想及其独一无二的特性相关；数字2表示意见，因为他们认为意见是需要分享的；数字3与完整性有关，这是因为所有完整的事物都必须包括开端、中间和结尾，具体的事物需要三个维度才能定义它们的物理存在。
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就这样，他们发现了一条又一条规律。例如，由于奇数被视为阳性的，而偶数是阴性的，所以数字5表示婚姻（这里的“婚姻”一词可能是维多利亚时期的委婉语），因为它把第一个真正的奇数3（他们认为数字1过于独特，因此不应该归属于奇数的行列）和第一个偶数2融为一体。对数字的这种联想在数字10上达到了巅峰，他们认为10表示完美。10不仅是1、2、3、4这4个数字之和，而且10个点可以排列成一个完美的等边三角形。
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毕达哥拉斯学派还从音乐中找出了数字规律。他们不仅发现音乐节奏有某种规律，还发现乐器的琴弦或管腔长度必须符合某种规律，才能演奏出悦耳动听的乐曲。例如，把琴弦加长一倍，演奏出的音调就会降八度。此外，他们还找到了演奏其他悦耳和声所需要的琴弦比。这种以数学方式研究音乐的行为似乎无足轻重，但是它一直被视为人类第一次利用数字得出某种科学法则，因此成为科学发展史上的一个重要里程碑。在此之前，人类对自然的研究全部是定性研究，而从此以后，定量研究也登上了历史的舞台。
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过分相信数学与现实之间的联系，并以此为依据进行演绎推理，是一种非常危险的行为。（至少，亚里士多德是这样认为的，这位做不到绝对公允的哲学家也对这个古老的学派提出了严厉的批评。）一位名叫菲洛劳斯的毕达哥拉斯门徒就犯了这个错误。毕达哥拉斯学派对数字10的完美性倍加推崇，对此深信不疑的菲洛劳斯因此认为，宇宙间必然还存在一颗不为人知的行星。他把太阳、月亮、地球、已知行星以及恒星的数量相加，即1 + 1 + 1 + 5 + 1，得到的结果是9。据说，菲洛劳斯认为，由于宇宙必须处于完美平衡的状态（只有这样，才与毕达哥拉斯学派深信不疑的规律相一致），所以所有这些天体的数量和必须是10，这是由数字10的重要性决定的。他因此推断必然存在一颗未知的行星。
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现在，人们很容易将他推断存在的这颗行星与当时尚未被人类发现的天王星（我们就不提海王星了）联系起来，但是他提出的另外一个观点却更加疯狂（从物理学角度看，也更加不可能）。他认为，宇宙中还有一个与地球相对应的“反地球”。当时，我们更加熟悉的希腊宇宙论（在这套理论中，宇宙与太阳系相似，但地球是宇宙的中心）还没有出现，关于宇宙结构的普遍观点是宇宙中心有一团火，构成了整个宇宙的光源。他们猜测，反地球就在这团火的另一侧，因此我们永远看不到它。
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尽管科幻小说中经常会重现这样的行星［注意，不要与祝融星（Vulcan）混淆。人们曾经假想在水星的轨道内侧还存在一颗行星，即祝融星］，但是天文学从来没有找到它确实存在的证据，它只是人们根据宇宙运行规律的数学模型进行演绎推理的产物。尽管现代物理学也会进行这样的演绎推理，但是我们使用的数学方法已经得到了不断完善，而且在提出某个假设之后，我们还会通过观察或者实验，验证这种假设是否成立。然而，在菲洛劳斯那个时代，人们不可能利用这个方法验证反地球理论的真伪。
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尽管也遇到过一些小的挫折，但是规律在人类探索宇宙本质的活动中占据了绝对优势，所以这种演绎推理的方法必然会受到重视。有的规律非常明显，你是不可能视而不见的。比如，我们都非常熟悉昼夜交替的规律。在时间方面，有些规律［例如一天可以分成24个小时，一个星期有7天（这些规律都是基于太阳、月亮等星体的运转形成的）］是人类总结出来的，仅在人类使用这些规律时才有意义，而有些规律（例如天、年等）则是自然现象，是真实存在的自然规律。
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太阳的运转遵循某些规律（运动方向始终不变，速度大致相同）。在更大的时间跨度里，太阳的高度变化，以及行星和恒星的光芒在天空中的重复性变化，都会表现出一些规律。此外，季节性交替也会表现出一定的规律。在时间跨度更大的情况下，生命本身也会表现出某些规律。因此，古希腊人借助各种规律来理解周围的世界，也在情理之中。
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所谓的亲和数[1]，例如220和284，可能是源于毕达哥拉斯学派的另一个概念，虽然它源于数字之间的浪漫关系，但其实并没有那么夸张。这两个数字彼此之间“含情脉脉”（毕达哥拉斯学派认为这两个数字之间充满了爱情的味道），甚至引起了珠宝商的兴趣：他们设计的心形金属首饰被分成两半，上面分别刻有数字220和284。
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对亲和数的探索是一场冒险之旅，有可能把你变成资深数学呆瓜。列出220的所有因数（即可以整除220的数），也就是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220。不算220，把剩下的数相加，和为284。与220相比，284的因数则要少得多，仅有1、2、4、71、142、284。不算284，剩下的数字之和是220。在痴迷于整数的毕达哥拉斯学派看来，这种关系具有让人无法抗拒的魔力。
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在我们看来，这种关系仅是一个有意思的现象，在人们问起“为什么要用220这个数”时你可以卖弄一番，也可以把它变成一个私人的小秘密。但是，在把数字视为万物基础的毕达哥拉斯学派看来，这些数字显得尤为重要，应该被供奉在重要数字[2]的神殿之中。在探索宇宙奥秘时，如果完全依赖于数学（具体地说，就是整数），就会眼前漆黑一片，看不见前方的道路。
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很显然，这就是数学伊甸园里的一条蛇。据传，有一个人不小心闯进了这个整数统治一切的王国，结果丢掉了性命。
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不难想象，深信数字具有重要意义的毕达哥拉斯门徒会不惜一切来维护他们的信仰。传说中，他们确实也是这样做的。受害者名叫希帕索斯，是毕达哥拉斯学派的成员之一，因为胆敢将他们发现的“肮脏”的数学秘密公之于众而遭到杀害。可以想象，如果某个主流教派突然发现，他们的某一段经文宣称该宗教建立在子虚乌有的基础之上，那么他们肯定会想方设法加以掩饰的。而且，整个教派肯定会坐立不安。