1701011992
1701011993
一切都源于毕达哥拉斯提出的那条显然正确的定理。当人们利用这条定理计算单位边长正方形的对角线长度时，问题出现了。这个正方形的边长可以是实践活动中的任何单位长度，可以是1厘米，也可以是1英里[3]。但是，方便起见，我们可以认为它的长度就是1。当然，这个长度可以是任意值，然后我们可以将这个长度定义成一个新的长度单位，从而把正方形的边长变成单位长度。
1701011994
1701011995
1701011996
1701011997
1701011998
1701011999
我们画出了这个正方形的对角线。到目前为止，没有任何问题。根据毕达哥拉斯学派最喜欢的那条定理，可以很容易地计算出这条对角线的长度，因为它是直角三角形的最长边（事实上，我们可以从两个全等的直角三角形中任选一个）。也就是说，借助数学这个功能强大的工具，我们求出直角三角形另外两边的平方和，就可以得出这条对角线长度的平方。由于我们将正方形的边长定义为1个单位长度，因此对角线的平方就等于12+ 12，也就是1 + 1，结果等于2。同样，我们可以方便地把这条对角线的长度（也就是我们试图计算的值）定义为，即2的平方根。这个数的平方是2。
1701012000
1701012001
1701012002
1701012003
1701012004
1701012005
整个过程似乎没有任何问题。但是，当毕达哥拉斯学派的门徒试图计算的确切值时，情况一下子变得复杂起来。别忘了，在他们的心目中，整个宇宙的基础就是整数。因此，所有的数字，包括，都应该可以通过整数表现出来。显然不等于1，因为1的平方等于1，而不是2。同样，也不可能等于2，因为2的平方是4。这不成问题，因为毕达哥拉斯学派的门徒知道在1和2之间还有其他的数，这些数是两个整数的比，也就是我们现在所说的分数。
1701012006
1701012007
如果古希腊人真正理解了分数的概念，毕达哥拉斯学派在数字抽象化进程上的步伐就会迈得更大一些，而不会将整数的存在与现实世界中具体事物的数量统计割裂开来。在我们使用正整数时，这些数字可以随时回归到具体事物的数量上来。比如，如果我有3头山羊，你牵走1头，那么我只剩下2头山羊。但是，如果朝着简单分数（例如一半，即1/2）迈进一步，这些数字就再也不能同样完美地表示现实世界中的事物了。不错，2头山羊正好是4头山羊的1/2，但是，1/2个蛋糕在现实世界中只能是一个近似值——因为我们需要将某个物品一分为二，而这分成的两个部分可以非常相似，但绝不可能一模一样。
1701012008
1701012009
在分割蛋糕等物品时，我们会不由自主地想到分数。在空间测量时，分数同样非常重要。在划分土地或者测量建筑用石块的大小时，我们可以用整数加上测量单位来表示。最初，人们是用身体的某个部位来做测量单位的，例如拇指、脚、肘的长度（肘长指肘部至中指指尖的距离），以及步（passum）。步的1 000倍就是千步（mille passus），即1英里。但是，同数山羊不同，在测量石块大小时，我们有时候用了7次拇指之后，长度还会剩下一点儿，需要使用拇指的一部分来完成整个测量活动。这一部分的长度在0与一整根拇指之间，因此需要使用分数的概念。
1701012010
1701012011
尽管希腊人把分数视为与整数不同的数字，但是他们的抽象化实现得并不彻底，因为他们使用分数的方式与我们不同。首先，他们用来表示分数的符号与我们不同。例如，在表示1/4时，他们先直接写出字母δ，用来表示数字4，再在这个本来就容易混淆的字母上方添加一个类似于重音符号的标记。第二个希腊字母是β，因此用β表示2是可以理解的。但是，令人摸不着头脑的是，因为某些不明确的历史原因，他们在β上方添加一条横线，用来表示2/3。这种奇怪的表示法很可能是从埃及人的习惯做法演变而来的。在埃及人知道的分数中，大多数的分子都是1，而2/3是其中一个例外，因此他们用专门的符号来表示这个分数。
1701012012
1701012013
古希腊人用来表示1/2的专用符号也很奇怪——它不是希腊字母，而是一个闪电形状的符号（这个符号也不是标准写法，1/2还有其他几种表示方法）。正因为如此，分数运算实在是一个令人头疼的任务。现代人可以将分子、分母同时乘以一个数，将分数变成方便运算的形式，但是古希腊人没有这样的方法可以利用。他们最常见的做法是买一本加法表，从上面可以查询到1/2 + 1/6的答案是4/6（或者2/3）。尽管古希腊人把分数看成整数的比，但是他们的分数没有明确的分子和分母。
1701012014
1701012015
然而，在考虑古希腊人的方法时，我们也不应该认为他们的方法过于简单。对于分数运算可能带来的错综复杂的后果，古希腊人有一定的认识。比毕达哥拉斯晚出生几十年的哲学家芝诺（Zeno）根据分数相加时的奇异特性，提出了一个悖论，他本人也因此享有盛名。芝诺属于埃利亚学派（位于埃利亚，这座古城的旧址就在现在意大利的韦利亚海堡外），该学派认为变化与运动是一种错觉。尽管他们对此深信不疑，但是经验似乎表明变化无处不在。为了捍卫学派的论断，芝诺提出了一系列悖论，以证明我们对变化及运动的认识是错误的。在埃利亚学派看来，这个结果意味着大多数人赖以理解变化的经验是错误的。
1701012016
1701012017
在芝诺悖论中，最著名的可能是阿喀琉斯与乌龟赛跑的悖论。阿喀琉斯是芝诺那个时代的超级名人，与他赛跑的却是一只动作缓慢且笨重的乌龟。这显然是不公平的，但是芝诺断言，从阿喀琉斯的角度稍加考虑，就会发现这位英雄追不上慢吞吞的乌龟，条件是阿喀琉斯让乌龟先跑一两分钟。毕竟他是一名英雄，让乌龟占这样的便宜并不过分。但是，芝诺指出，即使阿喀琉斯跑得比乌龟快得多，他也不可能超过乌龟。
1701012018
1701012019
为了方便理解芝诺的理由，我们假设阿喀琉斯的速度是乌龟的两倍。实际上，他的速度肯定要更快，但是这个假设可以简化我们的数学推理，而且无论阿喀琉斯跑得有多快，这个证明过程都同样有效。乌龟起跑之后，我们的英雄还在等待。等乌龟跑出去1码（约为0.9米）之后，他开始追赶。很快，他就跑完了1码的距离，但是，在他跑这段距离的同时，乌龟还在继续往前跑。这段时间里，乌龟将前进1/2码。阿喀琉斯跑完这1/2码后，发现乌龟还领先他1/4码，他不得不继续追赶。于是，这个过程不断重复，永远不会结束。阿喀琉斯每次到达乌龟先前所在的位置时，乌龟已经又前进了一小段距离。因此，阿喀琉斯永远也追不上乌龟。
1701012020
1701012021
我们不清楚芝诺是否真的不明白其中的道理，但是古希腊数学完全可以解释这个奇怪的悖论。事实上，由于古希腊人理解分数的方式非常独特（从我们现代人的角度来看），而且他们研究数学时使用了一种非常直观的方法（他们对于几何学的热情经久不衰），所以对于他们来说，这个问题很好解释。古希腊人对整数有一种难以割舍的感情，在他们的心目中，“2”（用字母β表示）的意思是“两个单位组成的集合”。这个概念难以表述，但是与我们现在的理解存在微妙的差别。
1701012022
1701012023
他们对分数的理解与我们更加不同。在希腊人眼中，构成分数的两个整数仍然保持着各自的意义，他们把1/2、1/3分别理解成“第二部分”、“第三部分”。我们把1/2理解成一个对象（1）被分割成2个部分，而在古希腊人的眼中，它则是放到一起可以形成1的两个完整对象（2个部分）。就这样，他们彻底回避了1/2带来的抽象化问题。例如，他们不会想到半块蛋糕的近似值问题，因为他们想到的是，两块完整的蛋糕放在一起之后，变成了一块更大的蛋糕。阿喀琉斯与乌龟之间的每一段距离，利用我们现代人使用的算式来表示的话，就是：
1701012024
1701012025
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
1701012026
1701012027
而用古希腊人的方法来考虑的话，就是一个箱子被一块单位体积的石头占据了一半空间。然后，我们再装进去一块石头。第二块石头是单位体积的1/2，也就是说，两块这样的石头合在一起正好是一块单位体积的石头。第三次装进去的石头是单位体积的1/4，也就是说，4块这样的石头加到一起才等于一块单位体积的石头。以此类推，这些石头越加越多，箱子越装越满，但是永远也装不满。这是毕达哥拉斯学派的整数情结留给我们的遗产。古希腊人对分数的理解与我们不同，在他们的心目中，分数表示用2个、3个或者4个完整物体拼凑成另外一个物体。
1701012028
1701012029
现在，我们知道下面这个级数趋近于2：
1701012030
1701012031
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
1701012032
1701012033
每加上一项之后，该级数就会更加接近2，但是永远不能达到2。在理论上，如果这个级数包含该序列的整个无限集合，最终的和就会等于2。但是，无论有多少项，和都不会超过2。我们说，随着级数的项数趋近无穷大，和就会趋近2。然而，在现实世界中，没等乌龟跑出2码的距离，阿喀琉斯就已超过乌龟了。也就是说，芝诺悖论被破解了。毫无疑问，古希腊人的级数求和方法非常直观，比我们的现代方法更容易理解，因为我们可以清楚地看出，由于装填的石头越来越小，箱子永远都装不满。但是，仅从下面这个级数
1701012034
1701012035
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
1701012036
1701012037
你却不容易看出它的和是一个有限数。事实上，下面这个极其简单的级数
1701012038
1701012039
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …
1701012040
1701012041
就不具有数学家所说的“收敛性”。随着项数趋近无穷大，它的和也将趋于无穷大。