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为了方便理解芝诺的理由,我们假设阿喀琉斯的速度是乌龟的两倍。实际上,他的速度肯定要更快,但是这个假设可以简化我们的数学推理,而且无论阿喀琉斯跑得有多快,这个证明过程都同样有效。乌龟起跑之后,我们的英雄还在等待。等乌龟跑出去1码(约为0.9米)之后,他开始追赶。很快,他就跑完了1码的距离,但是,在他跑这段距离的同时,乌龟还在继续往前跑。这段时间里,乌龟将前进1/2码。阿喀琉斯跑完这1/2码后,发现乌龟还领先他1/4码,他不得不继续追赶。于是,这个过程不断重复,永远不会结束。阿喀琉斯每次到达乌龟先前所在的位置时,乌龟已经又前进了一小段距离。因此,阿喀琉斯永远也追不上乌龟。
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我们不清楚芝诺是否真的不明白其中的道理,但是古希腊数学完全可以解释这个奇怪的悖论。事实上,由于古希腊人理解分数的方式非常独特(从我们现代人的角度来看),而且他们研究数学时使用了一种非常直观的方法(他们对于几何学的热情经久不衰),所以对于他们来说,这个问题很好解释。古希腊人对整数有一种难以割舍的感情,在他们的心目中,“2”(用字母β表示)的意思是“两个单位组成的集合”。这个概念难以表述,但是与我们现在的理解存在微妙的差别。
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他们对分数的理解与我们更加不同。在希腊人眼中,构成分数的两个整数仍然保持着各自的意义,他们把1/2、1/3分别理解成“第二部分”、“第三部分”。我们把1/2理解成一个对象(1)被分割成2个部分,而在古希腊人的眼中,它则是放到一起可以形成1的两个完整对象(2个部分)。就这样,他们彻底回避了1/2带来的抽象化问题。例如,他们不会想到半块蛋糕的近似值问题,因为他们想到的是,两块完整的蛋糕放在一起之后,变成了一块更大的蛋糕。阿喀琉斯与乌龟之间的每一段距离,利用我们现代人使用的算式来表示的话,就是:
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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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而用古希腊人的方法来考虑的话,就是一个箱子被一块单位体积的石头占据了一半空间。然后,我们再装进去一块石头。第二块石头是单位体积的1/2,也就是说,两块这样的石头合在一起正好是一块单位体积的石头。第三次装进去的石头是单位体积的1/4,也就是说,4块这样的石头加到一起才等于一块单位体积的石头。以此类推,这些石头越加越多,箱子越装越满,但是永远也装不满。这是毕达哥拉斯学派的整数情结留给我们的遗产。古希腊人对分数的理解与我们不同,在他们的心目中,分数表示用2个、3个或者4个完整物体拼凑成另外一个物体。
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现在,我们知道下面这个级数趋近于2:
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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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每加上一项之后,该级数就会更加接近2,但是永远不能达到2。在理论上,如果这个级数包含该序列的整个无限集合,最终的和就会等于2。但是,无论有多少项,和都不会超过2。我们说,随着级数的项数趋近无穷大,和就会趋近2。然而,在现实世界中,没等乌龟跑出2码的距离,阿喀琉斯就已超过乌龟了。也就是说,芝诺悖论被破解了。毫无疑问,古希腊人的级数求和方法非常直观,比我们的现代方法更容易理解,因为我们可以清楚地看出,由于装填的石头越来越小,箱子永远都装不满。但是,仅从下面这个级数
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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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你却不容易看出它的和是一个有限数。事实上,下面这个极其简单的级数
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1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …
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就不具有数学家所说的“收敛性”。随着项数趋近无穷大,它的和也将趋于无穷大。
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接下来,我继续讲关于毕达哥拉斯学派的故事。他们正在考虑如何用整数比的形式来表示2的平方根。如果你对分数略有了解,就会知道这个值与707/500相近,但是又不完全相等。严格地说,在古希腊人看来,这个数应该等于707个1/500。但是,古希腊人可能会把它表示成1、1/5、1/5、1/100、1/500、1/500这种形式,尽管这种表达方式更令人困惑。在绞尽脑汁之后,毕达哥拉斯学派借助逻辑分析,证明不可能表示成任何两个整数之比的形式,任何整数都不行。这个新数与他们的世界观格格不入,他们认为整数是宇宙基础的信念摇摇欲坠。
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证明不能表示成整数之比,似乎并不是一件容易的事。乍看之下,古希腊人似乎必须逐个检查所有分数,以确保任何分数的值都不等于。这显然是一件不可能完成的任务,因为分数有无穷多个。但对于酷爱逻辑的古希腊人而言,这不是难事,他们利用自己对奇数和偶数特性的粗浅认识,再加上一点儿逻辑推理,就完成了这项任务。他们采用的是一种常用的经典证明法:首先假设某个命题是真实的,然后根据这个假设得出一个不可能成立的结论,从而证明这个命题是假的。下面是具体的证明过程。
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假设某个整数之比(借用古希腊人的习惯,我们设这个整数之比为α/β)可以表示该对角线的长度,也就是说,α、β为整数,且α/β=。为简单起见,我们假设α和β是可以得出这个比值的最小整数,也就是说,这两个整数可以构成2/3这种形式的比,而不是4/6或200/300这种形式的比。
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为了避免棘手的除法运算,我们采用了一种老办法:等式两边同时乘以β。由此得到:
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α=β×
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接下来,左右两边进行平方运算,以消去平方根:
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α2=β2×2
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到目前为止,我们使用的都是中学学过的简单数学知识(古希腊人的做法略有不同,但结果是一样的)。古希腊人知道,任何数乘以2,积都是偶数。因此,上述等式的右边是一个偶数,这就意味着α2也是一个偶数。由此可知,α是偶数,因为奇数的平方肯定是奇数。
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所有的偶数都可以被2整除,因此α2可以被4整除。这就说明β2×2也可以被4整除,从而证明β2可以被2整除,也就是说,β2是偶数。既然β2是偶数,那么β也一定是偶数,也就是说,它可以被2整除。
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我们的目的就要达到了。从上述证明可知,α和β都可以被2整除,因此它们就不可能像最初假设的那样,是比值等于的最小整数。也就是说,我们经过证明发现,最小的两个整数并不是最小,从而说明原命题在逻辑上不成立。因此,我们可以确定比值等于的整数是不存在的。
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