1701011969
就这样，他们发现了一条又一条规律。例如，由于奇数被视为阳性的，而偶数是阴性的，所以数字5表示婚姻（这里的“婚姻”一词可能是维多利亚时期的委婉语），因为它把第一个真正的奇数3（他们认为数字1过于独特，因此不应该归属于奇数的行列）和第一个偶数2融为一体。对数字的这种联想在数字10上达到了巅峰，他们认为10表示完美。10不仅是1、2、3、4这4个数字之和，而且10个点可以排列成一个完美的等边三角形。
1701011970
1701011971
毕达哥拉斯学派还从音乐中找出了数字规律。他们不仅发现音乐节奏有某种规律，还发现乐器的琴弦或管腔长度必须符合某种规律，才能演奏出悦耳动听的乐曲。例如，把琴弦加长一倍，演奏出的音调就会降八度。此外，他们还找到了演奏其他悦耳和声所需要的琴弦比。这种以数学方式研究音乐的行为似乎无足轻重，但是它一直被视为人类第一次利用数字得出某种科学法则，因此成为科学发展史上的一个重要里程碑。在此之前，人类对自然的研究全部是定性研究，而从此以后，定量研究也登上了历史的舞台。
1701011972
1701011973
过分相信数学与现实之间的联系，并以此为依据进行演绎推理，是一种非常危险的行为。（至少，亚里士多德是这样认为的，这位做不到绝对公允的哲学家也对这个古老的学派提出了严厉的批评。）一位名叫菲洛劳斯的毕达哥拉斯门徒就犯了这个错误。毕达哥拉斯学派对数字10的完美性倍加推崇，对此深信不疑的菲洛劳斯因此认为，宇宙间必然还存在一颗不为人知的行星。他把太阳、月亮、地球、已知行星以及恒星的数量相加，即1 + 1 + 1 + 5 + 1，得到的结果是9。据说，菲洛劳斯认为，由于宇宙必须处于完美平衡的状态（只有这样，才与毕达哥拉斯学派深信不疑的规律相一致），所以所有这些天体的数量和必须是10，这是由数字10的重要性决定的。他因此推断必然存在一颗未知的行星。
1701011974
1701011975
现在，人们很容易将他推断存在的这颗行星与当时尚未被人类发现的天王星（我们就不提海王星了）联系起来，但是他提出的另外一个观点却更加疯狂（从物理学角度看，也更加不可能）。他认为，宇宙中还有一个与地球相对应的“反地球”。当时，我们更加熟悉的希腊宇宙论（在这套理论中，宇宙与太阳系相似，但地球是宇宙的中心）还没有出现，关于宇宙结构的普遍观点是宇宙中心有一团火，构成了整个宇宙的光源。他们猜测，反地球就在这团火的另一侧，因此我们永远看不到它。
1701011976
1701011977
尽管科幻小说中经常会重现这样的行星［注意，不要与祝融星（Vulcan）混淆。人们曾经假想在水星的轨道内侧还存在一颗行星，即祝融星］，但是天文学从来没有找到它确实存在的证据，它只是人们根据宇宙运行规律的数学模型进行演绎推理的产物。尽管现代物理学也会进行这样的演绎推理，但是我们使用的数学方法已经得到了不断完善，而且在提出某个假设之后，我们还会通过观察或者实验，验证这种假设是否成立。然而，在菲洛劳斯那个时代，人们不可能利用这个方法验证反地球理论的真伪。
1701011978
1701011979
尽管也遇到过一些小的挫折，但是规律在人类探索宇宙本质的活动中占据了绝对优势，所以这种演绎推理的方法必然会受到重视。有的规律非常明显，你是不可能视而不见的。比如，我们都非常熟悉昼夜交替的规律。在时间方面，有些规律［例如一天可以分成24个小时，一个星期有7天（这些规律都是基于太阳、月亮等星体的运转形成的）］是人类总结出来的，仅在人类使用这些规律时才有意义，而有些规律（例如天、年等）则是自然现象，是真实存在的自然规律。
1701011980
1701011981
太阳的运转遵循某些规律（运动方向始终不变，速度大致相同）。在更大的时间跨度里，太阳的高度变化，以及行星和恒星的光芒在天空中的重复性变化，都会表现出一些规律。此外，季节性交替也会表现出一定的规律。在时间跨度更大的情况下，生命本身也会表现出某些规律。因此，古希腊人借助各种规律来理解周围的世界，也在情理之中。
1701011982
1701011983
所谓的亲和数[1]，例如220和284，可能是源于毕达哥拉斯学派的另一个概念，虽然它源于数字之间的浪漫关系，但其实并没有那么夸张。这两个数字彼此之间“含情脉脉”（毕达哥拉斯学派认为这两个数字之间充满了爱情的味道），甚至引起了珠宝商的兴趣：他们设计的心形金属首饰被分成两半，上面分别刻有数字220和284。
1701011984
1701011985
对亲和数的探索是一场冒险之旅，有可能把你变成资深数学呆瓜。列出220的所有因数（即可以整除220的数），也就是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220。不算220，把剩下的数相加，和为284。与220相比，284的因数则要少得多，仅有1、2、4、71、142、284。不算284，剩下的数字之和是220。在痴迷于整数的毕达哥拉斯学派看来，这种关系具有让人无法抗拒的魔力。
1701011986
1701011987
在我们看来，这种关系仅是一个有意思的现象，在人们问起“为什么要用220这个数”时你可以卖弄一番，也可以把它变成一个私人的小秘密。但是，在把数字视为万物基础的毕达哥拉斯学派看来，这些数字显得尤为重要，应该被供奉在重要数字[2]的神殿之中。在探索宇宙奥秘时，如果完全依赖于数学（具体地说，就是整数），就会眼前漆黑一片，看不见前方的道路。
1701011988
1701011989
很显然，这就是数学伊甸园里的一条蛇。据传，有一个人不小心闯进了这个整数统治一切的王国，结果丢掉了性命。
1701011990
1701011991
不难想象，深信数字具有重要意义的毕达哥拉斯门徒会不惜一切来维护他们的信仰。传说中，他们确实也是这样做的。受害者名叫希帕索斯，是毕达哥拉斯学派的成员之一，因为胆敢将他们发现的“肮脏”的数学秘密公之于众而遭到杀害。可以想象，如果某个主流教派突然发现，他们的某一段经文宣称该宗教建立在子虚乌有的基础之上，那么他们肯定会想方设法加以掩饰的。而且，整个教派肯定会坐立不安。
1701011992
1701011993
一切都源于毕达哥拉斯提出的那条显然正确的定理。当人们利用这条定理计算单位边长正方形的对角线长度时，问题出现了。这个正方形的边长可以是实践活动中的任何单位长度，可以是1厘米，也可以是1英里[3]。但是，方便起见，我们可以认为它的长度就是1。当然，这个长度可以是任意值，然后我们可以将这个长度定义成一个新的长度单位，从而把正方形的边长变成单位长度。
1701011994
1701011995
1701011996
1701011997
1701011998
1701011999
我们画出了这个正方形的对角线。到目前为止，没有任何问题。根据毕达哥拉斯学派最喜欢的那条定理，可以很容易地计算出这条对角线的长度，因为它是直角三角形的最长边（事实上，我们可以从两个全等的直角三角形中任选一个）。也就是说，借助数学这个功能强大的工具，我们求出直角三角形另外两边的平方和，就可以得出这条对角线长度的平方。由于我们将正方形的边长定义为1个单位长度，因此对角线的平方就等于12+ 12，也就是1 + 1，结果等于2。同样，我们可以方便地把这条对角线的长度（也就是我们试图计算的值）定义为，即2的平方根。这个数的平方是2。
1701012000
1701012001
1701012002
1701012003
1701012004
1701012005
整个过程似乎没有任何问题。但是，当毕达哥拉斯学派的门徒试图计算的确切值时，情况一下子变得复杂起来。别忘了，在他们的心目中，整个宇宙的基础就是整数。因此，所有的数字，包括，都应该可以通过整数表现出来。显然不等于1，因为1的平方等于1，而不是2。同样，也不可能等于2，因为2的平方是4。这不成问题，因为毕达哥拉斯学派的门徒知道在1和2之间还有其他的数，这些数是两个整数的比，也就是我们现在所说的分数。
1701012006
1701012007
如果古希腊人真正理解了分数的概念，毕达哥拉斯学派在数字抽象化进程上的步伐就会迈得更大一些，而不会将整数的存在与现实世界中具体事物的数量统计割裂开来。在我们使用正整数时，这些数字可以随时回归到具体事物的数量上来。比如，如果我有3头山羊，你牵走1头，那么我只剩下2头山羊。但是，如果朝着简单分数（例如一半，即1/2）迈进一步，这些数字就再也不能同样完美地表示现实世界中的事物了。不错，2头山羊正好是4头山羊的1/2，但是，1/2个蛋糕在现实世界中只能是一个近似值——因为我们需要将某个物品一分为二，而这分成的两个部分可以非常相似，但绝不可能一模一样。
1701012008
1701012009
在分割蛋糕等物品时，我们会不由自主地想到分数。在空间测量时，分数同样非常重要。在划分土地或者测量建筑用石块的大小时，我们可以用整数加上测量单位来表示。最初，人们是用身体的某个部位来做测量单位的，例如拇指、脚、肘的长度（肘长指肘部至中指指尖的距离），以及步（passum）。步的1 000倍就是千步（mille passus），即1英里。但是，同数山羊不同，在测量石块大小时，我们有时候用了7次拇指之后，长度还会剩下一点儿，需要使用拇指的一部分来完成整个测量活动。这一部分的长度在0与一整根拇指之间，因此需要使用分数的概念。
1701012010
1701012011
尽管希腊人把分数视为与整数不同的数字，但是他们的抽象化实现得并不彻底，因为他们使用分数的方式与我们不同。首先，他们用来表示分数的符号与我们不同。例如，在表示1/4时，他们先直接写出字母δ，用来表示数字4，再在这个本来就容易混淆的字母上方添加一个类似于重音符号的标记。第二个希腊字母是β，因此用β表示2是可以理解的。但是，令人摸不着头脑的是，因为某些不明确的历史原因，他们在β上方添加一条横线，用来表示2/3。这种奇怪的表示法很可能是从埃及人的习惯做法演变而来的。在埃及人知道的分数中，大多数的分子都是1，而2/3是其中一个例外，因此他们用专门的符号来表示这个分数。
1701012012
1701012013
古希腊人用来表示1/2的专用符号也很奇怪——它不是希腊字母，而是一个闪电形状的符号（这个符号也不是标准写法，1/2还有其他几种表示方法）。正因为如此，分数运算实在是一个令人头疼的任务。现代人可以将分子、分母同时乘以一个数，将分数变成方便运算的形式，但是古希腊人没有这样的方法可以利用。他们最常见的做法是买一本加法表，从上面可以查询到1/2 + 1/6的答案是4/6（或者2/3）。尽管古希腊人把分数看成整数的比，但是他们的分数没有明确的分子和分母。
1701012014
1701012015
然而，在考虑古希腊人的方法时，我们也不应该认为他们的方法过于简单。对于分数运算可能带来的错综复杂的后果，古希腊人有一定的认识。比毕达哥拉斯晚出生几十年的哲学家芝诺（Zeno）根据分数相加时的奇异特性，提出了一个悖论，他本人也因此享有盛名。芝诺属于埃利亚学派（位于埃利亚，这座古城的旧址就在现在意大利的韦利亚海堡外），该学派认为变化与运动是一种错觉。尽管他们对此深信不疑，但是经验似乎表明变化无处不在。为了捍卫学派的论断，芝诺提出了一系列悖论，以证明我们对变化及运动的认识是错误的。在埃利亚学派看来，这个结果意味着大多数人赖以理解变化的经验是错误的。
1701012016
1701012017
在芝诺悖论中，最著名的可能是阿喀琉斯与乌龟赛跑的悖论。阿喀琉斯是芝诺那个时代的超级名人，与他赛跑的却是一只动作缓慢且笨重的乌龟。这显然是不公平的，但是芝诺断言，从阿喀琉斯的角度稍加考虑，就会发现这位英雄追不上慢吞吞的乌龟，条件是阿喀琉斯让乌龟先跑一两分钟。毕竟他是一名英雄，让乌龟占这样的便宜并不过分。但是，芝诺指出，即使阿喀琉斯跑得比乌龟快得多，他也不可能超过乌龟。
1701012018