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尽管希腊人把分数视为与整数不同的数字，但是他们的抽象化实现得并不彻底，因为他们使用分数的方式与我们不同。首先，他们用来表示分数的符号与我们不同。例如，在表示1/4时，他们先直接写出字母δ，用来表示数字4，再在这个本来就容易混淆的字母上方添加一个类似于重音符号的标记。第二个希腊字母是β，因此用β表示2是可以理解的。但是，令人摸不着头脑的是，因为某些不明确的历史原因，他们在β上方添加一条横线，用来表示2/3。这种奇怪的表示法很可能是从埃及人的习惯做法演变而来的。在埃及人知道的分数中，大多数的分子都是1，而2/3是其中一个例外，因此他们用专门的符号来表示这个分数。
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古希腊人用来表示1/2的专用符号也很奇怪——它不是希腊字母，而是一个闪电形状的符号（这个符号也不是标准写法，1/2还有其他几种表示方法）。正因为如此，分数运算实在是一个令人头疼的任务。现代人可以将分子、分母同时乘以一个数，将分数变成方便运算的形式，但是古希腊人没有这样的方法可以利用。他们最常见的做法是买一本加法表，从上面可以查询到1/2 + 1/6的答案是4/6（或者2/3）。尽管古希腊人把分数看成整数的比，但是他们的分数没有明确的分子和分母。
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然而，在考虑古希腊人的方法时，我们也不应该认为他们的方法过于简单。对于分数运算可能带来的错综复杂的后果，古希腊人有一定的认识。比毕达哥拉斯晚出生几十年的哲学家芝诺（Zeno）根据分数相加时的奇异特性，提出了一个悖论，他本人也因此享有盛名。芝诺属于埃利亚学派（位于埃利亚，这座古城的旧址就在现在意大利的韦利亚海堡外），该学派认为变化与运动是一种错觉。尽管他们对此深信不疑，但是经验似乎表明变化无处不在。为了捍卫学派的论断，芝诺提出了一系列悖论，以证明我们对变化及运动的认识是错误的。在埃利亚学派看来，这个结果意味着大多数人赖以理解变化的经验是错误的。
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在芝诺悖论中，最著名的可能是阿喀琉斯与乌龟赛跑的悖论。阿喀琉斯是芝诺那个时代的超级名人，与他赛跑的却是一只动作缓慢且笨重的乌龟。这显然是不公平的，但是芝诺断言，从阿喀琉斯的角度稍加考虑，就会发现这位英雄追不上慢吞吞的乌龟，条件是阿喀琉斯让乌龟先跑一两分钟。毕竟他是一名英雄，让乌龟占这样的便宜并不过分。但是，芝诺指出，即使阿喀琉斯跑得比乌龟快得多，他也不可能超过乌龟。
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为了方便理解芝诺的理由，我们假设阿喀琉斯的速度是乌龟的两倍。实际上，他的速度肯定要更快，但是这个假设可以简化我们的数学推理，而且无论阿喀琉斯跑得有多快，这个证明过程都同样有效。乌龟起跑之后，我们的英雄还在等待。等乌龟跑出去1码（约为0.9米）之后，他开始追赶。很快，他就跑完了1码的距离，但是，在他跑这段距离的同时，乌龟还在继续往前跑。这段时间里，乌龟将前进1/2码。阿喀琉斯跑完这1/2码后，发现乌龟还领先他1/4码，他不得不继续追赶。于是，这个过程不断重复，永远不会结束。阿喀琉斯每次到达乌龟先前所在的位置时，乌龟已经又前进了一小段距离。因此，阿喀琉斯永远也追不上乌龟。
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我们不清楚芝诺是否真的不明白其中的道理，但是古希腊数学完全可以解释这个奇怪的悖论。事实上，由于古希腊人理解分数的方式非常独特（从我们现代人的角度来看），而且他们研究数学时使用了一种非常直观的方法（他们对于几何学的热情经久不衰），所以对于他们来说，这个问题很好解释。古希腊人对整数有一种难以割舍的感情，在他们的心目中，“2”（用字母β表示）的意思是“两个单位组成的集合”。这个概念难以表述，但是与我们现在的理解存在微妙的差别。
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他们对分数的理解与我们更加不同。在希腊人眼中，构成分数的两个整数仍然保持着各自的意义，他们把1/2、1/3分别理解成“第二部分”、“第三部分”。我们把1/2理解成一个对象（1）被分割成2个部分，而在古希腊人的眼中，它则是放到一起可以形成1的两个完整对象（2个部分）。就这样，他们彻底回避了1/2带来的抽象化问题。例如，他们不会想到半块蛋糕的近似值问题，因为他们想到的是，两块完整的蛋糕放在一起之后，变成了一块更大的蛋糕。阿喀琉斯与乌龟之间的每一段距离，利用我们现代人使用的算式来表示的话，就是：
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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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而用古希腊人的方法来考虑的话，就是一个箱子被一块单位体积的石头占据了一半空间。然后，我们再装进去一块石头。第二块石头是单位体积的1/2，也就是说，两块这样的石头合在一起正好是一块单位体积的石头。第三次装进去的石头是单位体积的1/4，也就是说，4块这样的石头加到一起才等于一块单位体积的石头。以此类推，这些石头越加越多，箱子越装越满，但是永远也装不满。这是毕达哥拉斯学派的整数情结留给我们的遗产。古希腊人对分数的理解与我们不同，在他们的心目中，分数表示用2个、3个或者4个完整物体拼凑成另外一个物体。
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现在，我们知道下面这个级数趋近于2：
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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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每加上一项之后，该级数就会更加接近2，但是永远不能达到2。在理论上，如果这个级数包含该序列的整个无限集合，最终的和就会等于2。但是，无论有多少项，和都不会超过2。我们说，随着级数的项数趋近无穷大，和就会趋近2。然而，在现实世界中，没等乌龟跑出2码的距离，阿喀琉斯就已超过乌龟了。也就是说，芝诺悖论被破解了。毫无疑问，古希腊人的级数求和方法非常直观，比我们的现代方法更容易理解，因为我们可以清楚地看出，由于装填的石头越来越小，箱子永远都装不满。但是，仅从下面这个级数
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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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你却不容易看出它的和是一个有限数。事实上，下面这个极其简单的级数
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1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …
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就不具有数学家所说的“收敛性”。随着项数趋近无穷大，它的和也将趋于无穷大。
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接下来，我继续讲关于毕达哥拉斯学派的故事。他们正在考虑如何用整数比的形式来表示2的平方根。如果你对分数略有了解，就会知道这个值与707/500相近，但是又不完全相等。严格地说，在古希腊人看来，这个数应该等于707个1/500。但是，古希腊人可能会把它表示成1、1/5、1/5、1/100、1/500、1/500这种形式，尽管这种表达方式更令人困惑。在绞尽脑汁之后，毕达哥拉斯学派借助逻辑分析，证明不可能表示成任何两个整数之比的形式，任何整数都不行。这个新数与他们的世界观格格不入，他们认为整数是宇宙基础的信念摇摇欲坠。
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证明不能表示成整数之比，似乎并不是一件容易的事。乍看之下，古希腊人似乎必须逐个检查所有分数，以确保任何分数的值都不等于。这显然是一件不可能完成的任务，因为分数有无穷多个。但对于酷爱逻辑的古希腊人而言，这不是难事，他们利用自己对奇数和偶数特性的粗浅认识，再加上一点儿逻辑推理，就完成了这项任务。他们采用的是一种常用的经典证明法：首先假设某个命题是真实的，然后根据这个假设得出一个不可能成立的结论，从而证明这个命题是假的。下面是具体的证明过程。
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假设某个整数之比（借用古希腊人的习惯，我们设这个整数之比为α/β）可以表示该对角线的长度，也就是说，α、β为整数，且α/β=。为简单起见，我们假设α和β是可以得出这个比值的最小整数，也就是说，这两个整数可以构成2/3这种形式的比，而不是4/6或200/300这种形式的比。
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为了避免棘手的除法运算，我们采用了一种老办法：等式两边同时乘以β。由此得到：
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α=β×
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接下来，左右两边进行平方运算，以消去平方根：
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