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α2=β2×2
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到目前为止，我们使用的都是中学学过的简单数学知识（古希腊人的做法略有不同，但结果是一样的）。古希腊人知道，任何数乘以2，积都是偶数。因此，上述等式的右边是一个偶数，这就意味着α2也是一个偶数。由此可知，α是偶数，因为奇数的平方肯定是奇数。
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所有的偶数都可以被2整除，因此α2可以被4整除。这就说明β2×2也可以被4整除，从而证明β2可以被2整除，也就是说，β2是偶数。既然β2是偶数，那么β也一定是偶数，也就是说，它可以被2整除。
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我们的目的就要达到了。从上述证明可知，α和β都可以被2整除，因此它们就不可能像最初假设的那样，是比值等于的最小整数。也就是说，我们经过证明发现，最小的两个整数并不是最小，从而说明原命题在逻辑上不成立。因此，我们可以确定比值等于的整数是不存在的。
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对于现代人而言，根本不是什么问题，我们可以若无其事地使用这个数，也可以把这条对角线的长度表示成小数形式，还可以根据需要保留小数的位数，例如，1.414 213 562…。但是，对于有整数情结的毕达哥拉斯学派而言，他们没有任何选择。现在，我们把这样的数称作无理数，原因是它不能表示成整数之比的形式。而对毕达哥拉斯学派而言，这些数似乎真的对理性基础构成了威胁，至少在他们将数字与几何图形联系到一起时，会让他们遭遇麻烦。据说，可怜的希帕索斯因为泄露无理数的秘密而惨遭报复，被扔到水里淹死了。实际上，当时的几何学研究完全不同于数字研究。在毕达哥拉斯学派的心目中，两者之间的区别非常大，几何图形似乎与数字毫不相干。他们认为，几何学是一种直观概念，而不是一个数字概念。
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现在，在提到这些除整数以外的数时，无论是像这种无理数，还是表示成十进制序列的有理数，例如把2/3写成0.666 666…的形式，我们都可以称之为“实数”。我们可以得心应手地使用无理数乃至所有实数。手动计算已经在很大程度上被计算机取而代之，事实证明，实数的处理毫无难度可言。人们通常根据设备的计算能力，对这些数字进行四舍五入的处理，因此0.666 666…（其中“…”表示该数可以无休止地写下去）就会在最后一位小数上进行四舍五入，变成0.666 667。
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总的来说，我们不清楚实数是不是“真实”的——考虑到它与宇宙的本质直接相关，而不是一个数学概念。在数学中，圆的周长与直径的比值是无理数π，但是在现实世界中，我们从来没有也不可能完美地实现这个比值。即使我们通过某种方法画出一个完美的圆，但是鉴于它是由原子构成的，我们仍然需要考虑粒度问题。无论物质世界之中的这个圆是如何构造的，无论它是一块圆形金属还是纸上画出来的图形，都不会具有完美的连续性。这就意味着我们永远无法在我们构建的实物与数学的预言之间建立理想的一一对应关系。
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当然，我们可以将物质排除在外，只考虑空间自身的问题。但是，现代物理学告诉我们，即使空间也可能存在粒度问题，并不是完全连续的，至多只能在普朗克长度这个量级实现量子化。普朗克长度是不可测量的极小长度，约等于10–35米，是最小的原子——氢原子直径的10的25次方分之一。然而，现实世界的这种不可避免的粗糙性在数学世界中却根本不存在。在那里，一切都有可能，数值的连续性更是惯常现象。宇宙可能无边无际，某些量子特性可能与实数保持一致，但这仅仅是一种可能，而实数很有可能只是现实世界的一种近似表示。
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然而，古希腊数学家并不了解物质世界的这种特性。他们没有花费太多精力去寻找一种可以与现实世界精确吻合的形式数学，而是一头扎进理论数学的研究之中。在这个与尘世隔绝的完美世界里，有一个神秘的代表人物——欧几里得。
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[1]亲和数指一对存在特殊关系的数。一般来讲，如果两个数中任何一个数都是另一个数的真因数之和，则称这两个数是亲和数。——译者注
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[2]有的数学家认为，所有数字都非常重要。但如果你认为某些数值小的数字不那么重要，那么这些数字也会因为小而变得重要。
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[3]1英里≈1.61千米。——编者注
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数学世界的探奇之旅 [:1701011746]
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数学世界的探奇之旅 第4章 欧几里得：几何定理的完美证明
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上学时，如果你接触过几何学，并且在解题结束时以胜利者的姿态（或者怒气冲冲地）写下QED（拉丁语“quod erat demonstrandum”的缩写，意为“证明完毕”）这个表示几何证明过程结束的传统标志，就说明你正走在欧几里得所指引的道路上。在大约2 000年的时间里，他的著作《几何原本》一直是至高无上的数学教科书。但是，关于欧几里得本人，我们却知之甚少。有的学者甚至认为根本不存在这样一个人，欧几里得只是代表若干作者的一个虚构的姓名。我们仅知道他的著作出自托勒密一世在亚历山大创建的那所无与伦比的学校，欧几里得（如果他确实存在）是这所学校的一个重要人物。欧几里得是当时公认的名师，他的那部代表作是他授课所用的教科书。在撰写这部书时，他没有打算收录那些惊天动地的新发现，而是收集了那些已有的知识。然而，这些知识的编排方式却给人留下了极其深刻的印象。
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欧几里得几何学建造了一个自得其乐的小小世界，从此以后，数学研究就沿用了这个模式。《几何原本》首先提出若干假设，然后在此基础上完成一系列逻辑清晰的证明。在证明的过程中，人们不需要从事诸如观察、计数、测量等苦活儿去解决现实世界的难题。现在，我们把这部著作看作一本权威的几何教科书，但实际上，书中还涉及算术，也介绍了古希腊人对代数问题的直观表示。从级数1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + …这样的直观表示可以看出，古希腊人已经开始接触代数学了。
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毫无疑问，证明的概念与精确性（与测量人员工作时只求大概的结果不同）是古希腊人对数学的最大贡献。我们知道，古埃及人在几何学的舞台上非常活跃，古巴比伦人的数字与代数知识也达到了古希腊人无法企及的高度。但是，这两个时间更早的文明对证明之道却不怎么关心，因为他们认为有数字或者图形就足够了。他们研究的仅仅是理论数学。
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我们已经接触过数学证明的概念。数学证明始于毕达哥拉斯学派，但是欧几里得为证明过程建立了一套严格的模式。他首先为证明规定了一系列条件、公理或者“已知内容”。这些条件、公理或者“已知内容”无法加以证实，但是数学家要完成证明，就必须视其为理所当然。这些公理都是显而易见的（尽管有个别例外，但基本上确实如此），可以用作证明过程的基础。证明时，数学家必须从这些公理出发，环环相扣地完成一系列逻辑推理步骤，直到最终完成证明。
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欧几里得的《几何原本》（从技术上看，应该称之为一套书，因为每卷的实际长度都受到限制）首先给出了一些定义（包括点、直线、圆的定义），然后是5条公设（也被称作“假设”）和5条公理（现在也被视为“公设”）。紧接着，他给出了第一条定理，描述了利用圆规和直尺作等边三角形的方法（古希腊人尤其热衷于尺规作图）。事实上，欧几里得给出的一些定义并不严谨缜密（例如，他用“倾斜角”这个名词来定义角，但实际上，“倾斜角”这个词反而比“角”更加冷僻），但是他所表述的意义都是正确的。本书给出这些公理，但不再提供详细的证明过程。
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5条公设是：
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