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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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每加上一项之后，该级数就会更加接近2，但是永远不能达到2。在理论上，如果这个级数包含该序列的整个无限集合，最终的和就会等于2。但是，无论有多少项，和都不会超过2。我们说，随着级数的项数趋近无穷大，和就会趋近2。然而，在现实世界中，没等乌龟跑出2码的距离，阿喀琉斯就已超过乌龟了。也就是说，芝诺悖论被破解了。毫无疑问，古希腊人的级数求和方法非常直观，比我们的现代方法更容易理解，因为我们可以清楚地看出，由于装填的石头越来越小，箱子永远都装不满。但是，仅从下面这个级数
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1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
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你却不容易看出它的和是一个有限数。事实上，下面这个极其简单的级数
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1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …
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就不具有数学家所说的“收敛性”。随着项数趋近无穷大，它的和也将趋于无穷大。
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接下来，我继续讲关于毕达哥拉斯学派的故事。他们正在考虑如何用整数比的形式来表示2的平方根。如果你对分数略有了解，就会知道这个值与707/500相近，但是又不完全相等。严格地说，在古希腊人看来，这个数应该等于707个1/500。但是，古希腊人可能会把它表示成1、1/5、1/5、1/100、1/500、1/500这种形式，尽管这种表达方式更令人困惑。在绞尽脑汁之后，毕达哥拉斯学派借助逻辑分析，证明不可能表示成任何两个整数之比的形式，任何整数都不行。这个新数与他们的世界观格格不入，他们认为整数是宇宙基础的信念摇摇欲坠。
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证明不能表示成整数之比，似乎并不是一件容易的事。乍看之下，古希腊人似乎必须逐个检查所有分数，以确保任何分数的值都不等于。这显然是一件不可能完成的任务，因为分数有无穷多个。但对于酷爱逻辑的古希腊人而言，这不是难事，他们利用自己对奇数和偶数特性的粗浅认识，再加上一点儿逻辑推理，就完成了这项任务。他们采用的是一种常用的经典证明法：首先假设某个命题是真实的，然后根据这个假设得出一个不可能成立的结论，从而证明这个命题是假的。下面是具体的证明过程。
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假设某个整数之比（借用古希腊人的习惯，我们设这个整数之比为α/β）可以表示该对角线的长度，也就是说，α、β为整数，且α/β=。为简单起见，我们假设α和β是可以得出这个比值的最小整数，也就是说，这两个整数可以构成2/3这种形式的比，而不是4/6或200/300这种形式的比。
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为了避免棘手的除法运算，我们采用了一种老办法：等式两边同时乘以β。由此得到：
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α=β×
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接下来，左右两边进行平方运算，以消去平方根：
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α2=β2×2
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到目前为止，我们使用的都是中学学过的简单数学知识（古希腊人的做法略有不同，但结果是一样的）。古希腊人知道，任何数乘以2，积都是偶数。因此，上述等式的右边是一个偶数，这就意味着α2也是一个偶数。由此可知，α是偶数，因为奇数的平方肯定是奇数。
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所有的偶数都可以被2整除，因此α2可以被4整除。这就说明β2×2也可以被4整除，从而证明β2可以被2整除，也就是说，β2是偶数。既然β2是偶数，那么β也一定是偶数，也就是说，它可以被2整除。
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我们的目的就要达到了。从上述证明可知，α和β都可以被2整除，因此它们就不可能像最初假设的那样，是比值等于的最小整数。也就是说，我们经过证明发现，最小的两个整数并不是最小，从而说明原命题在逻辑上不成立。因此，我们可以确定比值等于的整数是不存在的。
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对于现代人而言，根本不是什么问题，我们可以若无其事地使用这个数，也可以把这条对角线的长度表示成小数形式，还可以根据需要保留小数的位数，例如，1.414 213 562…。但是，对于有整数情结的毕达哥拉斯学派而言，他们没有任何选择。现在，我们把这样的数称作无理数，原因是它不能表示成整数之比的形式。而对毕达哥拉斯学派而言，这些数似乎真的对理性基础构成了威胁，至少在他们将数字与几何图形联系到一起时，会让他们遭遇麻烦。据说，可怜的希帕索斯因为泄露无理数的秘密而惨遭报复，被扔到水里淹死了。实际上，当时的几何学研究完全不同于数字研究。在毕达哥拉斯学派的心目中，两者之间的区别非常大，几何图形似乎与数字毫不相干。他们认为，几何学是一种直观概念，而不是一个数字概念。
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现在，在提到这些除整数以外的数时，无论是像这种无理数，还是表示成十进制序列的有理数，例如把2/3写成0.666 666…的形式，我们都可以称之为“实数”。我们可以得心应手地使用无理数乃至所有实数。手动计算已经在很大程度上被计算机取而代之，事实证明，实数的处理毫无难度可言。人们通常根据设备的计算能力，对这些数字进行四舍五入的处理，因此0.666 666…（其中“…”表示该数可以无休止地写下去）就会在最后一位小数上进行四舍五入，变成0.666 667。
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总的来说，我们不清楚实数是不是“真实”的——考虑到它与宇宙的本质直接相关，而不是一个数学概念。在数学中，圆的周长与直径的比值是无理数π，但是在现实世界中，我们从来没有也不可能完美地实现这个比值。即使我们通过某种方法画出一个完美的圆，但是鉴于它是由原子构成的，我们仍然需要考虑粒度问题。无论物质世界之中的这个圆是如何构造的，无论它是一块圆形金属还是纸上画出来的图形，都不会具有完美的连续性。这就意味着我们永远无法在我们构建的实物与数学的预言之间建立理想的一一对应关系。
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当然，我们可以将物质排除在外，只考虑空间自身的问题。但是，现代物理学告诉我们，即使空间也可能存在粒度问题，并不是完全连续的，至多只能在普朗克长度这个量级实现量子化。普朗克长度是不可测量的极小长度，约等于10–35米，是最小的原子——氢原子直径的10的25次方分之一。然而，现实世界的这种不可避免的粗糙性在数学世界中却根本不存在。在那里，一切都有可能，数值的连续性更是惯常现象。宇宙可能无边无际，某些量子特性可能与实数保持一致，但这仅仅是一种可能，而实数很有可能只是现实世界的一种近似表示。