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然而，古希腊数学家并不了解物质世界的这种特性。他们没有花费太多精力去寻找一种可以与现实世界精确吻合的形式数学，而是一头扎进理论数学的研究之中。在这个与尘世隔绝的完美世界里，有一个神秘的代表人物——欧几里得。
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[1]亲和数指一对存在特殊关系的数。一般来讲，如果两个数中任何一个数都是另一个数的真因数之和，则称这两个数是亲和数。——译者注
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[2]有的数学家认为，所有数字都非常重要。但如果你认为某些数值小的数字不那么重要，那么这些数字也会因为小而变得重要。
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[3]1英里≈1.61千米。——编者注
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数学世界的探奇之旅 [:1701011746]
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数学世界的探奇之旅 第4章 欧几里得：几何定理的完美证明
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上学时，如果你接触过几何学，并且在解题结束时以胜利者的姿态（或者怒气冲冲地）写下QED（拉丁语“quod erat demonstrandum”的缩写，意为“证明完毕”）这个表示几何证明过程结束的传统标志，就说明你正走在欧几里得所指引的道路上。在大约2 000年的时间里，他的著作《几何原本》一直是至高无上的数学教科书。但是，关于欧几里得本人，我们却知之甚少。有的学者甚至认为根本不存在这样一个人，欧几里得只是代表若干作者的一个虚构的姓名。我们仅知道他的著作出自托勒密一世在亚历山大创建的那所无与伦比的学校，欧几里得（如果他确实存在）是这所学校的一个重要人物。欧几里得是当时公认的名师，他的那部代表作是他授课所用的教科书。在撰写这部书时，他没有打算收录那些惊天动地的新发现，而是收集了那些已有的知识。然而，这些知识的编排方式却给人留下了极其深刻的印象。
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欧几里得几何学建造了一个自得其乐的小小世界，从此以后，数学研究就沿用了这个模式。《几何原本》首先提出若干假设，然后在此基础上完成一系列逻辑清晰的证明。在证明的过程中，人们不需要从事诸如观察、计数、测量等苦活儿去解决现实世界的难题。现在，我们把这部著作看作一本权威的几何教科书，但实际上，书中还涉及算术，也介绍了古希腊人对代数问题的直观表示。从级数1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + …这样的直观表示可以看出，古希腊人已经开始接触代数学了。
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毫无疑问，证明的概念与精确性（与测量人员工作时只求大概的结果不同）是古希腊人对数学的最大贡献。我们知道，古埃及人在几何学的舞台上非常活跃，古巴比伦人的数字与代数知识也达到了古希腊人无法企及的高度。但是，这两个时间更早的文明对证明之道却不怎么关心，因为他们认为有数字或者图形就足够了。他们研究的仅仅是理论数学。
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我们已经接触过数学证明的概念。数学证明始于毕达哥拉斯学派，但是欧几里得为证明过程建立了一套严格的模式。他首先为证明规定了一系列条件、公理或者“已知内容”。这些条件、公理或者“已知内容”无法加以证实，但是数学家要完成证明，就必须视其为理所当然。这些公理都是显而易见的（尽管有个别例外，但基本上确实如此），可以用作证明过程的基础。证明时，数学家必须从这些公理出发，环环相扣地完成一系列逻辑推理步骤，直到最终完成证明。
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欧几里得的《几何原本》（从技术上看，应该称之为一套书，因为每卷的实际长度都受到限制）首先给出了一些定义（包括点、直线、圆的定义），然后是5条公设（也被称作“假设”）和5条公理（现在也被视为“公设”）。紧接着，他给出了第一条定理，描述了利用圆规和直尺作等边三角形的方法（古希腊人尤其热衷于尺规作图）。事实上，欧几里得给出的一些定义并不严谨缜密（例如，他用“倾斜角”这个名词来定义角，但实际上，“倾斜角”这个词反而比“角”更加冷僻），但是他所表述的意义都是正确的。本书给出这些公理，但不再提供详细的证明过程。
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5条公设是：
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1. 过任意两点都可作一条直线；
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2. 一条直线可以无限延长；
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3. 以任一点为圆心，任意长为半径，可以作一个圆；
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4. 所有直角都相等；
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5. 一条直线和另外两条直线相交，若两个内角之和小于180°，则这两条直线一定相交。
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5条公理是：
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1. 等于同量的量彼此相等；
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2. 等量加等量，其和仍相等；
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3. 等量减等量，其差仍相等；
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4. 彼此能重合的物体是全等的；
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