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洞中影子的不完美特点(数学证明中的完美图形与我们在现实生活中处理、体验的那些对象之间的区别),在“失踪的正方形”这个令人费解的难题上得到了充分体现。
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在这幅图中,两个图形看起来一模一样,只是它们各部分所处的位置不同。可以看出,下面的图形中有一个空白格,这说明下面图形与上面图形的面积并不相同。柏拉图的完美图形是不会出现这种情况的,但是在模糊、朦胧的现实世界中,画出来的线条都不精确,因此我们难免遇到这种情况。在上面的图形中,较小三角形的左边的角与较大三角形的左边的角看起来度数相同,但实际上并不相同。重新排列之后,那个空白格就是这个极其微小的差别造成的。
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随着不断深入研究数学与现实世界的相互关系,我们越发清楚地看到在科学研究中使用模型的意义。模型就像在现实基础上制作的玩具。宇宙是一个庞大的存在,即使其中一个很小的部分(例如人)也有非常复杂的结构。在了解宇宙奥秘、确定其物理构成时,我们通常需要做简化处理,降低研究对象的复杂程度。
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模型可以是看得见摸得着的具体表现,例如太阳仪。在计算机问世之前,这种简洁的太阳系机械模型一直深受欢迎。然而,我们使用的模型大多是由一系列方程或者数学系统构成的“数学模型”。它们具有现实世界中物体的某些特征,但是处理起来要简单得多。现在,人们通常会通过计算机编程来建立这样的模型,尽管很多科研人员仍然更青睐以简单(或比较简单的)方程式为核心的模型。
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我们将在后续章节深入讨论这些模型。从本质上看,它们表示的都是柏拉图理想世界中的宇宙的整体或部分情况。它们不是真实的事物,而是真实事物简单化、完善化的产物。有时,这些模型被称作“原型”,这个名称使我们不由得想起中世纪对柏拉图思想的美妙描述——“类型和影子”。只不过,柏拉图把相互关系弄颠倒了。在他的想象中,先有真实存在的完美对象,例如三角形,然后才有我们在日常生活中遇到的有瑕疵的影子。根据柏拉图的理解,我们周围世界的真实程度比不上理想世界。但是,科学家建立模型时,情况则正好相反,有瑕疵、有限制条件的是他们建立的模型。科学模型与科学理论是自然世界的数学投影,比真实系统要简单得多。
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柏拉图的山洞本身就是一个模型,它毫无疑问是山洞外世界的一个表现,但这不能说明任何问题。你也可以说数学就是大家共同创作的一部科幻小说,是一个所有数学家都愿意和谐共处的精神世界。但是,这个世界不允许存在科幻小说的天马行空,这里的所有规则都必须明文规定并得到一致认可。任何数学内容,只要遵从了这些规则,就会得到认可,无论它是否与现实世界存在相似之处。但是,经常有人提到一个事实:很多数学内容不仅与现实世界有相似之处,而且在反映现实世界真实情况这个方面具有异乎寻常的能力。其中的原因可能仅仅在于数学的基本结构中有很大一部分(例如整数运算的本质)是基于对现实的反映,但是,在我们摸清了数学世界的真实情况后,我们就会重新思考是否有其他原因。
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即使是在完美图形这个壁垒森严的世界里,欧几里得的门徒们也在化圆为方的道路上遭遇了滑铁卢。他们的内心有一个情结,想凭借一个圆规和一把直尺画出世间万物。他们想,是否可以画出一个正方形,它的面积恰好等于圆这个最简单、最完美的图形?这个想法令古希腊人难以释怀,他们甚至赋予那些埋头钻研这个难题的人一个专门的称呼——“化圆为方者”(tetragonidzein)。尽管这个称呼听起来很威风,但他们的努力不过是一种不自量力的行为。
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现代人都知道,在计算圆的准确面积时,古希腊人遭遇了另一个比更重要的无理数——圆周率(π)。圆周率不仅是无理数,而且是超越数,也就是说,我们无法通过一个有限方程得出它的精确值。(我们可以用方程表示圆周率的值,但是这些方程都是无穷级数,因此,我们甚至无法用方程来表示圆周率的精确值。)
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在欧几里得那个时代,数学家在面对几何学的严谨性时感到心安理得,我们也可以肯定,他们从事数学研究的目的并不单纯是为了刺激智力发展,与此同时,数学还得到了广泛的应用。我们已经知道,“几何”(geometry)这个词源于希腊语,原意是指测量地球。无论你是测量人员,还是建筑师,对于你来说,测量地球的近似值都具有非常重要的意义。但是,推导和证明却是在有条不紊、与世隔绝的数学世界里完成的。与这个世界相比,我们身处的现实世界混乱不堪,令人气馁。
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杂乱无章的物质世界似乎是欧几里得精确证明的墓地。但是,当一位数学家登上历史的舞台,甘愿干苦活累活,并将数学应用到工程技术乃至战争武器等领域时,完美世界的壁垒被打破了!
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数学世界的探奇之旅 第5章 阿基米德:用沙粒填满宇宙
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这位为当时的数学研究注入实用性的古希腊数学家就是阿基米德。不仅如此,他在非实用性数学方面的研究同样了不起,水平之高令当时的大多数人都感到不可思议。
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尽管后世的翻译家成功地复原了不少古希腊文本,但还是有很多遗失了,其中就包括很多重要人物的生平传记。我们知道,阿基米德去世之后,曾经有人为他立传,但是这部传记却没有流传下来,所以我们无从知晓他的具体生平,只知道他大约出生于公元前287年。阿基米德不仅具有不逊于先贤的几何天赋,毫无疑问,他还是人类历史上的第一位工程师,因为他把数学应用于实践,发明了武器和实用的机器。
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毕达哥拉斯学派曾经凭借想象,在底层建构上将数学与天地万物联系在一起。在阿基米德时代,人类不可能回归纯粹的数学,但是阿基米德成功地证明了数学是科学发展的必需品,它可以成为自然哲学家的忠实仆人。有人甚至认为,阿基米德是第一位现代意义上的科学家。然而,在阿基米德本人看来,他只是一位应用数学家。希腊历史学家、传记作家普鲁塔克说,阿基米德认为自己的机械发明不过是“研究几何学之余的消遣”,根本不值一提。
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最值得我们关注的是,阿基米德帮助数学在另一个方面摆脱了与现实的联系。我们知道,古希腊数学(具体来说就是古希腊几何学)有很强的直观性,它永远不可能为数学插上想象的翅膀,也不可能构建起我们现在看到的梦幻一般的数学王国,原因之一就在于古希腊的数字系统具有很大的局限性。古希腊数学几乎从未采用现代人熟悉的符号系统,也没有想办法降低数字系统的复杂程度。我们知道,古希腊数字都是字母表中的字母,为了扩大表示范围,还选用了几个古代字母。因此,这些数字使用起来非常不方便。最令人感到气馁的是,这套数字系统到10 000就结束了——米亚德(10 000)是最大的数字。
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为了证明数字系统可以发挥更强大的功能,阿基米德撰写了一本名叫《数沙者》(The Sand-reckoner)的小册子。在这部不同寻常的著作中,他计算了填满整个宇宙需要的沙粒数量。显然,他在实践性工程技术方面取得的成就并不包括这项计算。他的目的似乎是证明数学不会受到世俗思想的束缚,也不会因为当时采用的数字系统而裹足不前。为了达到这个目的,阿基米德必须另辟蹊径,发明一套全新的数字系统。
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为了增加权威性,阿基米德把这本书献给了叙拉古的统治者——革隆。阿基米德似乎受雇于革隆,甚至有人认为,生活在叙拉古这个动荡不安的小地方的阿基米德和革隆十分投契。阿基米德告诫革隆不要错误地认为地球上的沙粒无法数清,或者以为沙粒的数量为无穷多。他还明确地告诉革隆,他所说的沙粒“不仅指叙拉古附近和西西里岛其余地方的沙粒,还包括地球上所有其他地方的沙粒,无论有没有人居住”。但是,之后他把地球上的沙粒数量这个问题放到一边,着手证明他可以找到一个数,用来表示填满宇宙所需的沙粒数量。
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以现代人的眼光来看,这项计算任务是不可能得到一个有意义的结果的,因为我们根本不知道宇宙到底有多大。我们仅知道可观测宇宙的大小。这是由光在宇宙诞生以来可以传播的距离决定的,大约为900亿光年。在这个距离之外,我们就一无所知了。然而,在阿基米德那个时代,宇宙的概念则简单得多。在亚里士多德的简单模型中,宇宙的中心位置不是太阳,而是地球——地球是世间万物的中心。就像我们每日所见的那样,天空中可以观测到的所有东西,包括月亮、太阳和各大行星,都在围绕地球运转。天空的外面是一个球体,上面点缀着一些稀疏的光点——恒星。按照这个推算结果,整个宇宙比我们现在已知的太阳系还要小(要知道,根据古希腊人的宇宙模型,恒星位于土星轨道的外侧,因为土星是当时已知最遥远的行星)。
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有意思的是,阿基米德在《数沙者》中明确提出了另外一种观点。据他介绍,萨摩斯的阿利斯塔克在其著作中指出,太阳与恒星都是静止不动的,地球绕着太阳转,太阳位于宇宙的中心。这些只言片语引起了人们的兴趣。阿利斯塔克的那部著作没有流传下来,因此我们不知道阿利斯塔克到底说了什么,只能根据若干间接引用,推测这个地球围绕太阳运转理论的首创者的相关信息。
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阿利斯塔克说,他心目中的宇宙远远大于当时人们普遍采用的模型。阿基米德指出,阿利斯塔克描述的宇宙大小令人困惑,根本不可能是正确的。他的理由是,阿利斯塔克似乎在书中说过,镶嵌有固定恒星的天球十分遥远,地球的运转轨道与天球相比,就相当于“天球的中心与它的表面相比”。阿基米德指出,天球的中心没有大小,无法与其表面构成比率关系。但是,阿基米德认为他知道阿利斯塔克这番话的真实含义——这是在拿地球的大小(地球是传统宇宙模型的中心)与天球的大小做比较。
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