1701012142
洞中影子的不完美特点（数学证明中的完美图形与我们在现实生活中处理、体验的那些对象之间的区别），在“失踪的正方形”这个令人费解的难题上得到了充分体现。
1701012143
1701012144
1701012145
1701012146
1701012147
在这幅图中，两个图形看起来一模一样，只是它们各部分所处的位置不同。可以看出，下面的图形中有一个空白格，这说明下面图形与上面图形的面积并不相同。柏拉图的完美图形是不会出现这种情况的，但是在模糊、朦胧的现实世界中，画出来的线条都不精确，因此我们难免遇到这种情况。在上面的图形中，较小三角形的左边的角与较大三角形的左边的角看起来度数相同，但实际上并不相同。重新排列之后，那个空白格就是这个极其微小的差别造成的。
1701012148
1701012149
随着不断深入研究数学与现实世界的相互关系，我们越发清楚地看到在科学研究中使用模型的意义。模型就像在现实基础上制作的玩具。宇宙是一个庞大的存在，即使其中一个很小的部分（例如人）也有非常复杂的结构。在了解宇宙奥秘、确定其物理构成时，我们通常需要做简化处理，降低研究对象的复杂程度。
1701012150
1701012151
模型可以是看得见摸得着的具体表现，例如太阳仪。在计算机问世之前，这种简洁的太阳系机械模型一直深受欢迎。然而，我们使用的模型大多是由一系列方程或者数学系统构成的“数学模型”。它们具有现实世界中物体的某些特征，但是处理起来要简单得多。现在，人们通常会通过计算机编程来建立这样的模型，尽管很多科研人员仍然更青睐以简单（或比较简单的）方程式为核心的模型。
1701012152
1701012153
我们将在后续章节深入讨论这些模型。从本质上看，它们表示的都是柏拉图理想世界中的宇宙的整体或部分情况。它们不是真实的事物，而是真实事物简单化、完善化的产物。有时，这些模型被称作“原型”，这个名称使我们不由得想起中世纪对柏拉图思想的美妙描述——“类型和影子”。只不过，柏拉图把相互关系弄颠倒了。在他的想象中，先有真实存在的完美对象，例如三角形，然后才有我们在日常生活中遇到的有瑕疵的影子。根据柏拉图的理解，我们周围世界的真实程度比不上理想世界。但是，科学家建立模型时，情况则正好相反，有瑕疵、有限制条件的是他们建立的模型。科学模型与科学理论是自然世界的数学投影，比真实系统要简单得多。
1701012154
1701012155
柏拉图的山洞本身就是一个模型，它毫无疑问是山洞外世界的一个表现，但这不能说明任何问题。你也可以说数学就是大家共同创作的一部科幻小说，是一个所有数学家都愿意和谐共处的精神世界。但是，这个世界不允许存在科幻小说的天马行空，这里的所有规则都必须明文规定并得到一致认可。任何数学内容，只要遵从了这些规则，就会得到认可，无论它是否与现实世界存在相似之处。但是，经常有人提到一个事实：很多数学内容不仅与现实世界有相似之处，而且在反映现实世界真实情况这个方面具有异乎寻常的能力。其中的原因可能仅仅在于数学的基本结构中有很大一部分（例如整数运算的本质）是基于对现实的反映，但是，在我们摸清了数学世界的真实情况后，我们就会重新思考是否有其他原因。
1701012156
1701012157
即使是在完美图形这个壁垒森严的世界里，欧几里得的门徒们也在化圆为方的道路上遭遇了滑铁卢。他们的内心有一个情结，想凭借一个圆规和一把直尺画出世间万物。他们想，是否可以画出一个正方形，它的面积恰好等于圆这个最简单、最完美的图形？这个想法令古希腊人难以释怀，他们甚至赋予那些埋头钻研这个难题的人一个专门的称呼——“化圆为方者”（tetragonidzein）。尽管这个称呼听起来很威风，但他们的努力不过是一种不自量力的行为。
1701012158
1701012159
1701012160
现代人都知道，在计算圆的准确面积时，古希腊人遭遇了另一个比更重要的无理数——圆周率（π）。圆周率不仅是无理数，而且是超越数，也就是说，我们无法通过一个有限方程得出它的精确值。（我们可以用方程表示圆周率的值，但是这些方程都是无穷级数，因此，我们甚至无法用方程来表示圆周率的精确值。）
1701012161
1701012162
在欧几里得那个时代，数学家在面对几何学的严谨性时感到心安理得，我们也可以肯定，他们从事数学研究的目的并不单纯是为了刺激智力发展，与此同时，数学还得到了广泛的应用。我们已经知道，“几何”（geometry）这个词源于希腊语，原意是指测量地球。无论你是测量人员，还是建筑师，对于你来说，测量地球的近似值都具有非常重要的意义。但是，推导和证明却是在有条不紊、与世隔绝的数学世界里完成的。与这个世界相比，我们身处的现实世界混乱不堪，令人气馁。
1701012163
1701012164
杂乱无章的物质世界似乎是欧几里得精确证明的墓地。但是，当一位数学家登上历史的舞台，甘愿干苦活累活，并将数学应用到工程技术乃至战争武器等领域时，完美世界的壁垒被打破了！
1701012165
1701012166
1701012167
1701012168
1701012169
数学世界的探奇之旅 [:1701011747]
1701012170
数学世界的探奇之旅 第5章 阿基米德：用沙粒填满宇宙
1701012171
1701012172
1701012173
1701012174
1701012175
这位为当时的数学研究注入实用性的古希腊数学家就是阿基米德。不仅如此，他在非实用性数学方面的研究同样了不起，水平之高令当时的大多数人都感到不可思议。
1701012176
1701012177
尽管后世的翻译家成功地复原了不少古希腊文本，但还是有很多遗失了，其中就包括很多重要人物的生平传记。我们知道，阿基米德去世之后，曾经有人为他立传，但是这部传记却没有流传下来，所以我们无从知晓他的具体生平，只知道他大约出生于公元前287年。阿基米德不仅具有不逊于先贤的几何天赋，毫无疑问，他还是人类历史上的第一位工程师，因为他把数学应用于实践，发明了武器和实用的机器。
1701012178
1701012179
毕达哥拉斯学派曾经凭借想象，在底层建构上将数学与天地万物联系在一起。在阿基米德时代，人类不可能回归纯粹的数学，但是阿基米德成功地证明了数学是科学发展的必需品，它可以成为自然哲学家的忠实仆人。有人甚至认为，阿基米德是第一位现代意义上的科学家。然而，在阿基米德本人看来，他只是一位应用数学家。希腊历史学家、传记作家普鲁塔克说，阿基米德认为自己的机械发明不过是“研究几何学之余的消遣”，根本不值一提。
1701012180
1701012181
最值得我们关注的是，阿基米德帮助数学在另一个方面摆脱了与现实的联系。我们知道，古希腊数学（具体来说就是古希腊几何学）有很强的直观性，它永远不可能为数学插上想象的翅膀，也不可能构建起我们现在看到的梦幻一般的数学王国，原因之一就在于古希腊的数字系统具有很大的局限性。古希腊数学几乎从未采用现代人熟悉的符号系统，也没有想办法降低数字系统的复杂程度。我们知道，古希腊数字都是字母表中的字母，为了扩大表示范围，还选用了几个古代字母。因此，这些数字使用起来非常不方便。最令人感到气馁的是，这套数字系统到10 000就结束了——米亚德（10 000）是最大的数字。
1701012182
1701012183
为了证明数字系统可以发挥更强大的功能，阿基米德撰写了一本名叫《数沙者》（The Sand-reckoner）的小册子。在这部不同寻常的著作中，他计算了填满整个宇宙需要的沙粒数量。显然，他在实践性工程技术方面取得的成就并不包括这项计算。他的目的似乎是证明数学不会受到世俗思想的束缚，也不会因为当时采用的数字系统而裹足不前。为了达到这个目的，阿基米德必须另辟蹊径，发明一套全新的数字系统。
1701012184
1701012185
为了增加权威性，阿基米德把这本书献给了叙拉古的统治者——革隆。阿基米德似乎受雇于革隆，甚至有人认为，生活在叙拉古这个动荡不安的小地方的阿基米德和革隆十分投契。阿基米德告诫革隆不要错误地认为地球上的沙粒无法数清，或者以为沙粒的数量为无穷多。他还明确地告诉革隆，他所说的沙粒“不仅指叙拉古附近和西西里岛其余地方的沙粒，还包括地球上所有其他地方的沙粒，无论有没有人居住”。但是，之后他把地球上的沙粒数量这个问题放到一边，着手证明他可以找到一个数，用来表示填满宇宙所需的沙粒数量。
1701012186
1701012187
以现代人的眼光来看，这项计算任务是不可能得到一个有意义的结果的，因为我们根本不知道宇宙到底有多大。我们仅知道可观测宇宙的大小。这是由光在宇宙诞生以来可以传播的距离决定的，大约为900亿光年。在这个距离之外，我们就一无所知了。然而，在阿基米德那个时代，宇宙的概念则简单得多。在亚里士多德的简单模型中，宇宙的中心位置不是太阳，而是地球——地球是世间万物的中心。就像我们每日所见的那样，天空中可以观测到的所有东西，包括月亮、太阳和各大行星，都在围绕地球运转。天空的外面是一个球体，上面点缀着一些稀疏的光点——恒星。按照这个推算结果，整个宇宙比我们现在已知的太阳系还要小（要知道，根据古希腊人的宇宙模型，恒星位于土星轨道的外侧，因为土星是当时已知最遥远的行星）。
1701012188
1701012189
有意思的是，阿基米德在《数沙者》中明确提出了另外一种观点。据他介绍，萨摩斯的阿利斯塔克在其著作中指出，太阳与恒星都是静止不动的，地球绕着太阳转，太阳位于宇宙的中心。这些只言片语引起了人们的兴趣。阿利斯塔克的那部著作没有流传下来，因此我们不知道阿利斯塔克到底说了什么，只能根据若干间接引用，推测这个地球围绕太阳运转理论的首创者的相关信息。
1701012190
1701012191
阿利斯塔克说，他心目中的宇宙远远大于当时人们普遍采用的模型。阿基米德指出，阿利斯塔克描述的宇宙大小令人困惑，根本不可能是正确的。他的理由是，阿利斯塔克似乎在书中说过，镶嵌有固定恒星的天球十分遥远，地球的运转轨道与天球相比，就相当于“天球的中心与它的表面相比”。阿基米德指出，天球的中心没有大小，无法与其表面构成比率关系。但是，阿基米德认为他知道阿利斯塔克这番话的真实含义——这是在拿地球的大小（地球是传统宇宙模型的中心）与天球的大小做比较。