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在明确这一点之后，阿基米德开始计算填满传统模型代表的宇宙和阿利斯塔克模型代表的体积更大的宇宙所需要的沙粒数量。首先，他必须计算出这两个宇宙到底有多大。作为一名古希腊人，阿基米德在计算中自然会大量使用几何知识。开始计算之前，他对地球的大小以及地球、月亮和太阳的相对大小做出了一系列假设。大多数的假设都比较直截了当，例如，“地球的周长最多约为3 000 000斯塔德”。［斯塔德（stade）是根据体育场跑道长度确定的单位。］但是，有一个假设比较难以理解：“太阳的直径大于宇宙天球的最大切面的内接千边形的边长。”
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有必要告诉大家，千边形（这个词在现代并不常见）是指有1 000条边的多边形。阿基米德在这里对“宇宙天球”这个概念下了明确的定义。我们往往以为希腊模型中宇宙的尽头是恒星，但是阿基米德指出，“宇宙天球的中心就是地球的中心，它的半径等于太阳中心与地球中心的直线距离”。换句话说，他认为“宇宙天球”就是从地球上看到的太阳运行轨道所构成的球体。也就是说，他认为太阳的直径大约是我们观察到的太阳轨道的千分之一。
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在进行科研活动时，古希腊最流行的做法是纯粹依靠论证，而往往不屑于验证论证结果与现实之间是否存在相似之处。然而，天文学是个特例。阿基米德绝不是一位只会空谈的哲学家，而且他的父亲生前是一位非常活跃的天文学家。太阳大小与运行轨道的比值，就是阿基米德通过有限的天文学实践活动得出的。他准备了一根长竿，上面安装了一个可以调节位置的圆盘。然后，在太阳刚刚升起的时候（因为他相信，在太阳刚刚升起的时候观察太阳是安全的。其实，他错了，虽然这时候的阳光确实弱一些，因为阳光在到达地球之前，要在空气中传播一段很长的距离），他将长竿指向太阳，然后上下移动圆盘，使它正好遮住太阳。他计算出，当圆盘盖住太阳时，圆盘与视线之间的夹角介于直角的1/200和1/164之间。根据这个结果，他计算出太阳直径与太阳运行轨道的比值。最后，通过取整，他得出太阳直径约为太阳运转轨道的千分之一这个近似值。
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阿基米德计算距离时使用的长度单位是斯塔德（源于希腊语的“stadion”一词，复数形式为“stadia”），这给我们造成了不小的麻烦。前面说过，这个长度单位是根据运动场跑道的长度来确定的，但它并不是一个标准单位。1斯塔德可能等于600希腊尺，但是具体数值因地而异，变化范围大概为150—200米（490—650英尺）。然而，即使这个定义非常模糊，阿基米德的计算结果也表明宇宙的外围达到了带外行星的位置。考虑到古希腊人的估算水平，这个结果已经相当不错了。
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接着，他武断地认为只需要1米亚德（10 000）粒沙子就可以填满一粒罂粟籽，而罂粟籽至少是手指宽度（比尺小的标准长度单位）的1/40。现在，他需要想办法建立超过米亚德的数量级。因此，他创造了一个新数——米亚德米亚德（亿），并把达到这个值的数称作第二级单位。然后，他通过求米亚德米亚德的平方得到第三级单位，再通过求米亚德米亚德的三次方得到第四级单位，以此类推。在求得米亚德米亚德的米亚德米亚德次方之后，第一期（period）结束，然后他以同样方式得到了第二期。
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在建立了这些数量级之后，阿基米德又制定了一系列运算法则。最后，他计算出传统模型代表的宇宙可以装下的沙粒数不超过1 000个第七级单位（即1051，也就是1后面有51个0）。而亚里士多德模型所代表的那个更大的宇宙可以装下的沙粒数为1 000万个第八级单位（即1063）。其实，阿基米德发明的数字系统并没有这么先进，它是以古希腊人当时使用的那套糟糕的数字系统为基础的，所以使用起来十分不便。然而，在计算宇宙大小的时候，尽管阿基米德使用的是几何学知识，但在方法上却有一种别出心裁的新意。
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毫无疑问，这个新方法帮助阿基米德完成了计算，也帮助他从同时代的古希腊人当中脱颖而出，从一个全新的角度推动了数学的抽象化。他研究的课题可能是数沙子，但他发明的数字系统摆脱了传统方法的羁绊，在将数字与实物分离开的道路上迈进了一步。尽管阿基米德迈出了这一步，但他的数字系统仍然缺少一个至关重要的组成部分。当时的人都没有发现，他们的数字系统真正缺少的正是“什么都没有”这个概念。
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这是一个深不见底的漏洞！
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数学世界的探奇之旅 [:1701011748]
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数学世界的探奇之旅 第6章 斐波那奇：阿拉伯数字的登场
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让古希腊人和古罗马人烦恼不已的一个最重要的原因是，他们的算术中缺少了一个非常重要的元素——0，以至于他们没有办法表示“无”这个概念。从某种意义上看，即使是那些在兽骨或陶片上记账的早期“会计师”，也已经有了“无”这个概念。他们用没有任何刻痕、光溜溜的陶片来表示某种东西不存在。也许我没有办法把“没有山羊”这个概念直接表现出来，但是我可以展示看不到一头山羊的空荡荡的牧场；我也可以拿出一只空盒子，告诉你里面没有橙子。当我们有了“无”这个概念之后，在不知不觉间，我们就不再只用一个数字专门表示数量与实物之间的对应关系，而是用到了容器。
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然而，从表示没有某种实物的“无”，到在数学中十分活跃的0，这是概念上的一大进步。如果没有0，数学家就不可能将数字真正纳入自己的掌控之中。此外，这个神奇的数字还可以方便地充当占位符的角色，增强书面数字的条理性，使人类有可能完成之前根本不可能完成的复杂的计算。
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“0”看上去无足轻重，貌不惊人，但是它的出现推动了数学的发展。在相当长的时间里，人们都认为0是一个特殊的数字，很多数学家甚至认为0根本就不是数字。其中的原因不难理解。在进行一些基本的算术运算时，0往往会导致意外的错误。数学家都不喜欢特例（在这个方面，科学家与数学家的态度是一致的），而0却是最爱出风头的特例。任何数加上0或者减去0，都不会发生任何变化——0是拥有这个特点的唯一整数。任何数乘以0，结果都是0。0就是粉碎机，可以粉碎所有数字。
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如果用0做除数，就会得到算术上无法处理的可怕结果——无穷大。我们可以这样想，10除以1，结果是10。那么，10除以1/2呢？在学习分数时，老师告诉我们，除以1/2相当于乘以2，所以10除以1/2的结果是20。（我们也可以这样想：把10块蛋糕分别一分为二，就会得到20块小蛋糕。）同理，10除以1/4，结果是40。随着除数越来越小，结果就会越来越大。当分数的分母趋近0时，分数的值就会趋于无穷大。
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然而，这还不是0带来的最大的麻烦。有没有想过0除以0会有什么样的结果？苹果手机的语音控制功能Siri给出的回答令人印象深刻：
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无法确定。设想你有0块饼干，平均分给0个朋友，每人可以分到多少块饼干呢？看到没有，这个问题没有任何意义。甜饼怪兽很伤心，因为你没有饼干；你也会感到伤心，因为你没有朋友。
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分子为0的所有分数都等于0，而分母为0的分数则趋于无穷大。分子与分母同时为0的分数既可以同时归属这两大阵营，也可能被双方同时拒之门外。当印度人第一次使用0这个数字时，数学界就0除以0这个问题的答案展开了大讨论。在一段时期里，这两个看上去似乎都有道理的结果得到了很多人的认可。公元7世纪，婆罗摩笈多[1]认为0除以0应该等于0；公元12世纪，婆什迦罗[2]宣布，0除以0的结果是无穷大。
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后来，数学界（也像Siri一样）都赞成0除以0的结果无法确定的说法，认为0除以0没有确定的答案。在数学上，0除以0这个问题并不是一定要得出一个有意义的结果。随着历史的变迁，我们越来越清楚地看到，大多数的数学知识并不是以现实为基础的。在这种情况下，数学家可以随意制定规则。0除以0就符合这个条件。
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正是由于0的这些奇异特性，在刚开始的时候，数学界常常认为0不是整数。（后来，数学界决定不把数字1视为素数，也是出于同样的原因。）但是，当数轴这个非常重要的概念出现之后，把0排除在整数之外就会导致一个问题。在过去30年里受过教育的人都会在学校里学到数轴这个概念。如果有人没有学过，我在这里介绍一个非常方便的理解方法。大家可以想象一把两端无限延伸的直尺，上面的每个主要刻度都代表一个整数。沿着直尺向前（朝右），数值越来越大；沿着直尺向后（朝左），数值不断减小。
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数轴上既有正数，也有负数。问题是，当数值小于1且朝着负值的方向移动时，会出现什么情况？公元纪年法是人类实践活动中最早出现的数轴之一，它在这个问题上就犯了错误。525年，僧侣狄奥尼修斯·伊希格斯发明了这套公元纪年系统。8世纪30年代，历史学家比德对其进行了推广。到9世纪，这种纪年方法已经得到了基督教国家的普遍认可。在这种纪年系统中，公元元年（AD 1）之前是公元前1年（1 BC），竟然没有公元0年。这种情况直到今天也没有更正过来。
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时间线在–1（1 BC）之后就迅速跳到了+1（AD 1），中间没有任何数。AD表示“Anno Domini”，意思是“主的年份”，AD 1指的是耶稣诞生之年（尽管这个说法存在争议）。因为数轴上存在这个缺口，一些立志成为历史学家的人在计算生卒年跨公元前和公元后年份的人物的年龄时往往会出错。
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历史学家不同于数学家，这种从–1直接跳到1的纪年方法得到了他们的认可。但是，如果同样的情况出现在数轴上，人们就无法接受了，因为数轴是一个非常重要的数学工具，在数轴上前进或后退的行为应当与加法或减法运算相一致。例如，我们可以利用数轴来计算5 + 2的得数：从5开始，朝前（正方向）移动两个单位，就会得到答案7。但是，如果数轴上没有数字0，在计算1–1时就无法得出正确答案0，因为从1开始朝后（负方向）移动一个单位，就会到达–1的位置。无论我们是否愿意，若想让算术基本运算可行，整数中就必须包含0。
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