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最值得我们关注的是，阿基米德帮助数学在另一个方面摆脱了与现实的联系。我们知道，古希腊数学（具体来说就是古希腊几何学）有很强的直观性，它永远不可能为数学插上想象的翅膀，也不可能构建起我们现在看到的梦幻一般的数学王国，原因之一就在于古希腊的数字系统具有很大的局限性。古希腊数学几乎从未采用现代人熟悉的符号系统，也没有想办法降低数字系统的复杂程度。我们知道，古希腊数字都是字母表中的字母，为了扩大表示范围，还选用了几个古代字母。因此，这些数字使用起来非常不方便。最令人感到气馁的是，这套数字系统到10 000就结束了——米亚德（10 000）是最大的数字。
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为了证明数字系统可以发挥更强大的功能，阿基米德撰写了一本名叫《数沙者》（The Sand-reckoner）的小册子。在这部不同寻常的著作中，他计算了填满整个宇宙需要的沙粒数量。显然，他在实践性工程技术方面取得的成就并不包括这项计算。他的目的似乎是证明数学不会受到世俗思想的束缚，也不会因为当时采用的数字系统而裹足不前。为了达到这个目的，阿基米德必须另辟蹊径，发明一套全新的数字系统。
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为了增加权威性，阿基米德把这本书献给了叙拉古的统治者——革隆。阿基米德似乎受雇于革隆，甚至有人认为，生活在叙拉古这个动荡不安的小地方的阿基米德和革隆十分投契。阿基米德告诫革隆不要错误地认为地球上的沙粒无法数清，或者以为沙粒的数量为无穷多。他还明确地告诉革隆，他所说的沙粒“不仅指叙拉古附近和西西里岛其余地方的沙粒，还包括地球上所有其他地方的沙粒，无论有没有人居住”。但是，之后他把地球上的沙粒数量这个问题放到一边，着手证明他可以找到一个数，用来表示填满宇宙所需的沙粒数量。
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以现代人的眼光来看，这项计算任务是不可能得到一个有意义的结果的，因为我们根本不知道宇宙到底有多大。我们仅知道可观测宇宙的大小。这是由光在宇宙诞生以来可以传播的距离决定的，大约为900亿光年。在这个距离之外，我们就一无所知了。然而，在阿基米德那个时代，宇宙的概念则简单得多。在亚里士多德的简单模型中，宇宙的中心位置不是太阳，而是地球——地球是世间万物的中心。就像我们每日所见的那样，天空中可以观测到的所有东西，包括月亮、太阳和各大行星，都在围绕地球运转。天空的外面是一个球体，上面点缀着一些稀疏的光点——恒星。按照这个推算结果，整个宇宙比我们现在已知的太阳系还要小（要知道，根据古希腊人的宇宙模型，恒星位于土星轨道的外侧，因为土星是当时已知最遥远的行星）。
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有意思的是，阿基米德在《数沙者》中明确提出了另外一种观点。据他介绍，萨摩斯的阿利斯塔克在其著作中指出，太阳与恒星都是静止不动的，地球绕着太阳转，太阳位于宇宙的中心。这些只言片语引起了人们的兴趣。阿利斯塔克的那部著作没有流传下来，因此我们不知道阿利斯塔克到底说了什么，只能根据若干间接引用，推测这个地球围绕太阳运转理论的首创者的相关信息。
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阿利斯塔克说，他心目中的宇宙远远大于当时人们普遍采用的模型。阿基米德指出，阿利斯塔克描述的宇宙大小令人困惑，根本不可能是正确的。他的理由是，阿利斯塔克似乎在书中说过，镶嵌有固定恒星的天球十分遥远，地球的运转轨道与天球相比，就相当于“天球的中心与它的表面相比”。阿基米德指出，天球的中心没有大小，无法与其表面构成比率关系。但是，阿基米德认为他知道阿利斯塔克这番话的真实含义——这是在拿地球的大小（地球是传统宇宙模型的中心）与天球的大小做比较。
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在明确这一点之后，阿基米德开始计算填满传统模型代表的宇宙和阿利斯塔克模型代表的体积更大的宇宙所需要的沙粒数量。首先，他必须计算出这两个宇宙到底有多大。作为一名古希腊人，阿基米德在计算中自然会大量使用几何知识。开始计算之前，他对地球的大小以及地球、月亮和太阳的相对大小做出了一系列假设。大多数的假设都比较直截了当，例如，“地球的周长最多约为3 000 000斯塔德”。［斯塔德（stade）是根据体育场跑道长度确定的单位。］但是，有一个假设比较难以理解：“太阳的直径大于宇宙天球的最大切面的内接千边形的边长。”
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有必要告诉大家，千边形（这个词在现代并不常见）是指有1 000条边的多边形。阿基米德在这里对“宇宙天球”这个概念下了明确的定义。我们往往以为希腊模型中宇宙的尽头是恒星，但是阿基米德指出，“宇宙天球的中心就是地球的中心，它的半径等于太阳中心与地球中心的直线距离”。换句话说，他认为“宇宙天球”就是从地球上看到的太阳运行轨道所构成的球体。也就是说，他认为太阳的直径大约是我们观察到的太阳轨道的千分之一。
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在进行科研活动时，古希腊最流行的做法是纯粹依靠论证，而往往不屑于验证论证结果与现实之间是否存在相似之处。然而，天文学是个特例。阿基米德绝不是一位只会空谈的哲学家，而且他的父亲生前是一位非常活跃的天文学家。太阳大小与运行轨道的比值，就是阿基米德通过有限的天文学实践活动得出的。他准备了一根长竿，上面安装了一个可以调节位置的圆盘。然后，在太阳刚刚升起的时候（因为他相信，在太阳刚刚升起的时候观察太阳是安全的。其实，他错了，虽然这时候的阳光确实弱一些，因为阳光在到达地球之前，要在空气中传播一段很长的距离），他将长竿指向太阳，然后上下移动圆盘，使它正好遮住太阳。他计算出，当圆盘盖住太阳时，圆盘与视线之间的夹角介于直角的1/200和1/164之间。根据这个结果，他计算出太阳直径与太阳运行轨道的比值。最后，通过取整，他得出太阳直径约为太阳运转轨道的千分之一这个近似值。
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阿基米德计算距离时使用的长度单位是斯塔德（源于希腊语的“stadion”一词，复数形式为“stadia”），这给我们造成了不小的麻烦。前面说过，这个长度单位是根据运动场跑道的长度来确定的，但它并不是一个标准单位。1斯塔德可能等于600希腊尺，但是具体数值因地而异，变化范围大概为150—200米（490—650英尺）。然而，即使这个定义非常模糊，阿基米德的计算结果也表明宇宙的外围达到了带外行星的位置。考虑到古希腊人的估算水平，这个结果已经相当不错了。
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接着，他武断地认为只需要1米亚德（10 000）粒沙子就可以填满一粒罂粟籽，而罂粟籽至少是手指宽度（比尺小的标准长度单位）的1/40。现在，他需要想办法建立超过米亚德的数量级。因此，他创造了一个新数——米亚德米亚德（亿），并把达到这个值的数称作第二级单位。然后，他通过求米亚德米亚德的平方得到第三级单位，再通过求米亚德米亚德的三次方得到第四级单位，以此类推。在求得米亚德米亚德的米亚德米亚德次方之后，第一期（period）结束，然后他以同样方式得到了第二期。
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在建立了这些数量级之后，阿基米德又制定了一系列运算法则。最后，他计算出传统模型代表的宇宙可以装下的沙粒数不超过1 000个第七级单位（即1051，也就是1后面有51个0）。而亚里士多德模型所代表的那个更大的宇宙可以装下的沙粒数为1 000万个第八级单位（即1063）。其实，阿基米德发明的数字系统并没有这么先进，它是以古希腊人当时使用的那套糟糕的数字系统为基础的，所以使用起来十分不便。然而，在计算宇宙大小的时候，尽管阿基米德使用的是几何学知识，但在方法上却有一种别出心裁的新意。
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毫无疑问，这个新方法帮助阿基米德完成了计算，也帮助他从同时代的古希腊人当中脱颖而出，从一个全新的角度推动了数学的抽象化。他研究的课题可能是数沙子，但他发明的数字系统摆脱了传统方法的羁绊，在将数字与实物分离开的道路上迈进了一步。尽管阿基米德迈出了这一步，但他的数字系统仍然缺少一个至关重要的组成部分。当时的人都没有发现，他们的数字系统真正缺少的正是“什么都没有”这个概念。
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这是一个深不见底的漏洞！
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数学世界的探奇之旅 [:1701011748]
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数学世界的探奇之旅 第6章 斐波那奇：阿拉伯数字的登场
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让古希腊人和古罗马人烦恼不已的一个最重要的原因是，他们的算术中缺少了一个非常重要的元素——0，以至于他们没有办法表示“无”这个概念。从某种意义上看，即使是那些在兽骨或陶片上记账的早期“会计师”，也已经有了“无”这个概念。他们用没有任何刻痕、光溜溜的陶片来表示某种东西不存在。也许我没有办法把“没有山羊”这个概念直接表现出来，但是我可以展示看不到一头山羊的空荡荡的牧场；我也可以拿出一只空盒子，告诉你里面没有橙子。当我们有了“无”这个概念之后，在不知不觉间，我们就不再只用一个数字专门表示数量与实物之间的对应关系，而是用到了容器。
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然而，从表示没有某种实物的“无”，到在数学中十分活跃的0，这是概念上的一大进步。如果没有0，数学家就不可能将数字真正纳入自己的掌控之中。此外，这个神奇的数字还可以方便地充当占位符的角色，增强书面数字的条理性，使人类有可能完成之前根本不可能完成的复杂的计算。
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“0”看上去无足轻重，貌不惊人，但是它的出现推动了数学的发展。在相当长的时间里，人们都认为0是一个特殊的数字，很多数学家甚至认为0根本就不是数字。其中的原因不难理解。在进行一些基本的算术运算时，0往往会导致意外的错误。数学家都不喜欢特例（在这个方面，科学家与数学家的态度是一致的），而0却是最爱出风头的特例。任何数加上0或者减去0，都不会发生任何变化——0是拥有这个特点的唯一整数。任何数乘以0，结果都是0。0就是粉碎机，可以粉碎所有数字。
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如果用0做除数，就会得到算术上无法处理的可怕结果——无穷大。我们可以这样想，10除以1，结果是10。那么，10除以1/2呢？在学习分数时，老师告诉我们，除以1/2相当于乘以2，所以10除以1/2的结果是20。（我们也可以这样想：把10块蛋糕分别一分为二，就会得到20块小蛋糕。）同理，10除以1/4，结果是40。随着除数越来越小，结果就会越来越大。当分数的分母趋近0时，分数的值就会趋于无穷大。
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然而，这还不是0带来的最大的麻烦。有没有想过0除以0会有什么样的结果？苹果手机的语音控制功能Siri给出的回答令人印象深刻：
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无法确定。设想你有0块饼干，平均分给0个朋友，每人可以分到多少块饼干呢？看到没有，这个问题没有任何意义。甜饼怪兽很伤心，因为你没有饼干；你也会感到伤心，因为你没有朋友。
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