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分子为0的所有分数都等于0，而分母为0的分数则趋于无穷大。分子与分母同时为0的分数既可以同时归属这两大阵营，也可能被双方同时拒之门外。当印度人第一次使用0这个数字时，数学界就0除以0这个问题的答案展开了大讨论。在一段时期里，这两个看上去似乎都有道理的结果得到了很多人的认可。公元7世纪，婆罗摩笈多[1]认为0除以0应该等于0；公元12世纪，婆什迦罗[2]宣布，0除以0的结果是无穷大。
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后来，数学界（也像Siri一样）都赞成0除以0的结果无法确定的说法，认为0除以0没有确定的答案。在数学上，0除以0这个问题并不是一定要得出一个有意义的结果。随着历史的变迁，我们越来越清楚地看到，大多数的数学知识并不是以现实为基础的。在这种情况下，数学家可以随意制定规则。0除以0就符合这个条件。
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正是由于0的这些奇异特性，在刚开始的时候，数学界常常认为0不是整数。（后来，数学界决定不把数字1视为素数，也是出于同样的原因。）但是，当数轴这个非常重要的概念出现之后，把0排除在整数之外就会导致一个问题。在过去30年里受过教育的人都会在学校里学到数轴这个概念。如果有人没有学过，我在这里介绍一个非常方便的理解方法。大家可以想象一把两端无限延伸的直尺，上面的每个主要刻度都代表一个整数。沿着直尺向前（朝右），数值越来越大；沿着直尺向后（朝左），数值不断减小。
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数轴上既有正数，也有负数。问题是，当数值小于1且朝着负值的方向移动时，会出现什么情况？公元纪年法是人类实践活动中最早出现的数轴之一，它在这个问题上就犯了错误。525年，僧侣狄奥尼修斯·伊希格斯发明了这套公元纪年系统。8世纪30年代，历史学家比德对其进行了推广。到9世纪，这种纪年方法已经得到了基督教国家的普遍认可。在这种纪年系统中，公元元年（AD 1）之前是公元前1年（1 BC），竟然没有公元0年。这种情况直到今天也没有更正过来。
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时间线在–1（1 BC）之后就迅速跳到了+1（AD 1），中间没有任何数。AD表示“Anno Domini”，意思是“主的年份”，AD 1指的是耶稣诞生之年（尽管这个说法存在争议）。因为数轴上存在这个缺口，一些立志成为历史学家的人在计算生卒年跨公元前和公元后年份的人物的年龄时往往会出错。
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历史学家不同于数学家，这种从–1直接跳到1的纪年方法得到了他们的认可。但是，如果同样的情况出现在数轴上，人们就无法接受了，因为数轴是一个非常重要的数学工具，在数轴上前进或后退的行为应当与加法或减法运算相一致。例如，我们可以利用数轴来计算5 + 2的得数：从5开始，朝前（正方向）移动两个单位，就会得到答案7。但是，如果数轴上没有数字0，在计算1–1时就无法得出正确答案0，因为从1开始朝后（负方向）移动一个单位，就会到达–1的位置。无论我们是否愿意，若想让算术基本运算可行，整数中就必须包含0。
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如果0的作用仅仅是为数轴填补空缺，表示“无”的概念（位于整数–1和1之间，表示两者之间的那个整数），那么虽然这足以让它成为一个非常重要的数字，但还不足以促使数学领域发生翻天覆地的变化。0的重要作用还体现在它的另一个身份——数字中的占位符上。我们已经知道（参见第2章），罗马数字和更早的希腊数字在数位排列上缺少辅助系统，随着数字增大，它们会变成庞大到难以处理的字符串，从而大大增强了计算的难度。但是，在实践活动中，这两大古代文明对一种存在了1 000多年的有效方法却一直视而不见。
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这个方法可以追溯至古巴比伦人。古巴比伦人从他们的苏美尔祖先那里获得了灵感，开始使用六十进制的计数系统。这套系统用竖直的刻痕表示1（这与符木刻痕非常相似），用斜向一侧的符号（称作“钩”）表示10。我们把一天分成24个小时，又把每个小时分成60分钟。与之相似，古巴比伦人从1数到10之后，就开始采用六十进制。他们的祖先用不同的符号表示1和10，但是表示60的符号与表示1的符号相同，只是更大一些。用不同的笔可以刻画出更大的符号，但是很容易混淆，因此，后来的古巴比伦人换了一种方法，借助数字的位置来达到这个目的。
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用罗马数字写一个大数，例如MDCCCLXXVII，就会发现这个表达法浪费了传递大量信息的机会。虽然罗马数字中字母的位置也会发挥作用，例如LX表示60，而XL则表示40，但总的来说，在这套数字系统中，字母位置的作用十分有限，只表示字母的先后次序。但是，字母位置传递信息的潜力是巨大的。例如，“GOD”（上帝）和“DOG”（狗）是由相同的字母构成的，但是由于这些字母的排列位置有所不同，因此两个单词的意思也完全不同。数位携带了更多的信息，难道不能更广泛地对其加以应用吗？古巴比伦人正是这样做的。他们将一个数字最右端的数位定义为1，向左的第二个数位表示60，第三个数位表示60×60，以此类推。
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也就是说，如果用Y表示古巴比伦人的“1”，用D表示古巴比伦人的“10”，那么YY DY这个数字等于2×60 + 10 + 1，也就是131。由于数字位置表达了更多的信息，因此在表示大数时要简洁得多。不仅如此，采用这个办法之后，我们还可以将类似的数字上下对齐，排成列，从而大大降低加法、减法和乘法等运算的难度。例如，在求YY DY与Y Y的和时，我们可以按照数位对齐，写出下面这道算术题：
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YY DY
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Y Y
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我们立刻就可以看出，答案是YYY DYY。我们甚至没有意识到，这是一道可怕的六十进制算术题。当然，就像我们现在的数字系统一样，列与列之间的进位还需要遵循进位法则。尽管如此，这也比古希腊人和古罗马人使用的数字系统高效得多。古巴比伦人甚至可以处理无理数问题，例如，令毕达哥拉斯学派挠头的2的平方根。同样令人震惊的是，他们的数字系统中也有小数（因为他们使用的是六十进制，所以这些小数其实是六十进制小数），古巴比伦人留下的陶片还给出了2的平方根的近似值：1.414 222。很难理解，古希腊人竟然没有学习古巴比伦人的这些方法，反而后退了一大步，个中原因已经湮没在历史的长河中了。
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然而，古巴比伦人的那套数字系统也有一个问题。上面那道题中的第二个数是Y Y，即61。如果这个数是3 601，该怎么表示呢？60×60的列是Y，60的列中什么也没有，而表示1的那个列中有Y，因此3 601被表示成Y Y。严格地讲，两个Y之间的空格应该稍大一些，但是很难清楚地区分这两个数，在手写陶片时就更难以分辨了。从现存的古巴比伦人陶片来看，这些数字的排列方式极具随意性。当然，在第2章讨论的邻居借山羊的问题中，数清那些山羊并不是难事，因为我不大可能借给邻居3 601头山羊。所以，根据当时的情境，我们可以看出那些数字到底表示什么意思。但是，如果在交易物品时使用的是比较小的单位，或者涉及钱财时，这些数字就难以区分了。
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在古巴比伦文明走向衰落、古希腊文明即将兴起的时候，人们找到了一个解决办法。如果某一列中没有数字，他们就在那里画一道斜线，表示这是一个空列。因此，61仍然是Y Y，而3 601则被表示成Y \ Y的形式。太棒了！按列计算的方式要安全得多，而且人们不需要根据情境来分析数字表示的含义。但是，\与现代数学中的0还是有所不同的。因为某种原因，古巴比伦人一直没有承认一个事实：由于数字后面有可能出现除号，所以，数字中某一列为0时，仍然有可能与其他数字混淆。无论何种原因，\都无法充分发挥占位符的作用。这个符号从来没有独自出现过，也没有出现在计算过程中，因此，它没有发挥整数0的作用，而仅仅是0的幻影，只是有时起到占位符的作用。只有身兼二职，这个符号才有可能真正地发挥作用。
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古希腊文明末期的某些数字系统也出现过这种偶尔使用占位符的情况。在古希腊文明走向衰落的时候，天文学的研究得到了蓬勃发展，从相关研究成果中就能找到这些占位符。古希腊数字系统使用了十分笨拙的表示法，用单个字母分别表示从1到10的整数、各个小于100的10的倍数以及各个小于1 000的100的倍数，但也有一些系统使用的方法比较接近于古巴比伦人的方法。后来的希腊人同我们一样，用度、分、秒来表示角度。例如，在表示5度0分20秒的角时，希腊人会在分甚至秒的位置上画一个圆圈，并在圆圈上方画一个复杂的棒形标志，以示空缺。
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至此，从某种意义上看，他们已经朝着0迈出了一小步，但是这种占位符号仍然没有被他们视为独立的数字。在表示普通数字时，希腊人会在对应的希腊字母上方添加一条横线，但是在空白的占位符上方，他们会添加另外一种标志，以表示这是一个特别的符号。在我们看来，把这种占位符变成一个真正的数字，似乎是一件理所当然的事。尽管在记账时以及在天文学研究的文本中都不可避免要使用数字，但我们也别忘记了，古希腊数学在绝大多数情况下都是几何学研究，非常直观，关注的都是各种图形。正是由于思维上的这种特点，这种表示空缺的占位符在几何学实践活动中是难以想象的，也很难加以利用。
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也就是说，即使某些数学家和哲学家非常聪明，有可能提出0这个数学概念，也无法找到合适的出发点。至于那些必须与数字打交道的古希腊会计人员和商人，他们通常会使用一种不穿绳的算盘。这种算盘其实是一块平板，上面装有一排排算盘珠。与我掰手指数山羊的方式相比，算盘稍微先进一点儿。使用算盘时不需要占位符，因为算盘珠在算盘上的位置是固定的，表示十位数、个位数以及其他数的算盘珠都在对应的位置上。如果算盘上的某个位置没有算盘珠，也没有任何问题。但是，这也根本不算一个数字，而是表示这种高级符木上出现了一个空缺。
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直到13世纪初，0才以我们现代人常见的形式出现在几位西方数学家的笔下。其中最有名的当属比萨的列昂纳多，但他的另一个名字——斐波那奇却更广为人知。斐波那奇生于1170年，他的身为外交家的父亲代表比萨出使北非时，可能把年轻的斐波那奇也带去了。正是在北非的游历，让他接触到了阿拉伯数学家从印度学习并改进的那套新颖的数字系统。斐波那奇有一本名叫《计算之书》（Liber Abaci）的专著。这个书名很奇怪，它的意思是“算盘书”，但是这本书与算盘没有任何关系。通过这本书，斐波那奇不仅把阿拉伯数字（后演变为现在通用的阿拉伯数字）引进到西方，还为我们创造了“zephirum”这个词。该词可能译自阿拉伯语的“sifr”，它指代一个特殊的数字，以直立的蛋形符号表示。这个数字就是0。
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源于印度的这套灵活自如的数字系统早就应该传播到西方世界了。662年，一位名叫塞维鲁·塞博赫特的叙利亚主教指出，“印度人”在天文学领域有了“一些微妙的发现”。他还特别强调说：“他们的计算方法极有价值，他们的计算能力高超到了难以形容的地步。更令人难以置信的是，他们在计算时竟然只使用了9个符号。”给塞博赫特留下深刻印象的是不包括0在内的其余9个数字，从这里可以看出古希腊学者的眼光是多么狭隘。他们似乎认为，希腊以外都是蛮夷之地。不幸的是，正是这种狭隘性导致他们对这套系统视而不见。10世纪末，法国数学家热尔贝（也就是后来的教皇西尔维斯特二世）曾经试图推广不包括0的阿拉伯—印度数字系统，但是他的努力没有成功。
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尽管我们无法确切知道现代数学中真正的0起源于何时，但是我们至少可以推测阿拉伯数学家是从印度数学家极为先进的研究成果中汲取这个概念的。根据数学家、科学作家阿米尔·阿克塞尔在《零的起源》（Finding Zero）一书中的描述，他曾经花费大量时间，试图寻找在阿拉伯人之前使用0的相关记录。他希望可以找到确凿的证据，证明0既不是欧洲人的发明，也不是阿拉伯人的首创。他指的是20世纪20年代法裔匈牙利学者乔治·克代斯在研究活动中翻译的一篇柬埔寨语碑文。从寺庙残骸推断，树立这块石碑的日期是塞种纪元605年。我们知道塞种纪元始于公元78年，因此这篇碑文的起始日期应该是公元683年，这是人类使用0的最早的明确记录。
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这篇碑文的重要意义在于0（用一个点表示）作为占位符出现在605这个数字之中。这是人类使用0的早期记录，其中还记载有日期（但它与古巴比伦人很早之前使用的占位符“\”并没有本质上的不同，还不能证明人们已经开始使用真正的0了）。1931年的《伦敦大学亚非学院院刊》记载了这个发现，但是那篇碑文却已经遗失，而且没有留下任何照片。因此，它的真实性就完全取决于克代斯报告的真实性。后来，苏门答腊出现过历史几乎同样悠久的记录，记载了人类在公元684年使用0的情况，但是阿克塞尔认为那篇碑文才是最早的已知记录，因此他决定进行追踪研究。
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经过漫长的搜索，阿克塞尔终于在柬埔寨暹粒发现了“K–127”号石碑。碑文很完整，那个神秘的数字605也赫然在目。在外行人看来，那个代表0的圆点只不过是一个普通的小洞，更像后期风化造成的瑕疵，但是在内行人看来，这是人类早期使用0的证据。然而，热情高涨的阿克塞尔却发现，很难证明这个圆点与古巴比伦人使用的占位符有多大区别，具有全部数字功能的0似乎是沿着另一个方向进化而来的。
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大量证据表明，早期的印度数学和天文学受到了古希腊人的影响，托勒密等人用作占位符的圆似乎就是从希腊传到印度的，但是，让0开始履行数字的全部职能的那次突破，却是印度当时的数学家促成的——正是他们无与伦比的创造性思维推动0发生了脱胎换骨的变化。最晚从6世纪开始，印度数学家就在使用“无”的概念，也就是没有任何数量的意思。但是，我们却无法确定，0作为一个数字到底是何时出现的。令人困惑不解的是，这个符号在当时身兼二职，既可以用作表示空缺的占位符，也可以用来表示未知量（就像代数老师告诉我们的那样，“用x表示未知数”）。
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由此可见，占位符与未知数被混为一谈，原因是两者都代表一个空位。我们甚至可以从表示0的单词——“null”（或“nil”）看出两者之间的这种联系。这个英语单词来自法语的“null”，但它最初来源于拉丁文短语“nulla figura”，意思是“没有数字”。从古希腊数学到阿拉伯数学，其间有很多次数字0都呼之欲出，但是，印度人把0作为占位符使用的最古老的确凿证据却记载在一块瓜廖尔出土的876年的石碑上，上面的两个数字——270和50中的0都用一个小圆圈表示。然而，人类用圆圈表示0的做法很可能比这个时间更早。
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