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7世纪，伟大的印度数学家婆罗摩笈多开始用0表示一个数减去自身之后的得数，但是，这种用法在此之前肯定已经非常成熟了。因此，我们现在使用的0的所有职能很可能有两个来源：一个是通过古希腊人传承下来的古巴比伦人的思想；另一个是后来在印度得到了更广泛应用的来自远东的数学理念，之后经由印度进入了正在兴起的阿拉伯科学和数学领域，这为增强数字系统的复杂性提供了一个全新的舞台。0是通过后一条路径最终进入欧洲的（随之而来的还有印度数字系统）。正因为如此，我们现在仍然把我们使用的数字称作“阿拉伯数字”，而不是更准确的“印度数字”。
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正统的数学史肯定需要认真研究中国、南美洲和中美洲的数学发展情况，尤其不能忽视早期印度数学家的研究成果。但我们关注的是数学与科学之间的关系，数字0的使用以及印度数字对发展现代科学所做出的更大的贡献。三角学的正弦函数可能是印度数学做出的第二大贡献，这个概念值得我们关注，因为它推动印度数学在摆脱对现实的依赖这个方面达到了当时全世界的领先水平。
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三角学的意思就是三角形测量，它的研究对象是三角形中的角与直线。在这个研究领域，古希腊人使用的是一种名叫弦表的复杂系统，而印度人则引入了正弦这个现代概念。所谓正弦，就是直角三角形中某个锐角的对边与斜边的比。大家在学校里应该学习过这个概念，但是很可能已经忘记它的含义了。从某种意义上讲，这个概念代表了印度数学在抽象化方面取得的突出成就。三角形的边和角都是清晰可见的存在，但正弦是一个比值，如果你不知道它的来历，就无法确定它的含义。正弦是一个非常有用的概念，但是与它的组成相比，毫无疑问它算不上一种真实的存在。
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与正弦相比，0是一个更大也更重要的概念。但是，当斐波那奇将这个概念引入西方世界时，人们的反应却是褒贬不一。数学家们的热情程度似乎高于普通人的第一反应，他们迅速掌握了0的用途。17世纪20年代，诗人约翰·邓恩在一篇布道文中抱怨说：“任何事物，数量越少，我们就越不了解。因此，0这个东西是多么难以看清、难以捉摸啊！”仔细琢磨这句话，数学家的热情与普通人的冷淡显然就很好理解了。
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对这个全新数字系统的消极态度并不完全是情感造成的。会计人员发现，这个新系统中的0可以非常方便地被篡改成6或者9，因此不可避免地产生欺诈行为。为此，1299年，佛罗伦萨市议会颁布了一项法令，规定记账时必须用文字表示各种数目，而不得使用阿拉伯数字，以防遭到篡改。即使到了伽利略生活的时代，一位比利时牧师在与供货商签订合同时，还警告他们只能使用文字来表示所有数字。
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但是，在这套新的符号与功能强大的0推动欧洲数学取得蓬勃发展之前，中东的另外一群数学家就已经接受了这套印度符号系统，并将它传播开去。我们知道，这套符号系统由中东传播至西方世界，因此被称为阿拉伯数字。但是，令数学研究发生翻天覆地变化的却是波斯作家花剌子米（al-Khwarizmi）[3]在825年前后创作的一部重要著作——《论印度数字的计算》（On the Calculation with Hindu Numerals），拉丁语版本的名称为“Algoritmi de numero Indorum”。我们把计算机执行的一系列规则称作“算法”（algolrithm），这个词就是从花剌子米的拉丁名字演变而来的。“代数学”（algebra）这个词也是由花剌子米创造的。有了这套灵活方便的数字系统之后，数学为我们创造了一个可以与丰富多彩的物质世界相媲美的全新世界。
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代数学可能令很多学生头疼不已，但是它解决难题的能力和开放式方法的效力无与伦比。回头看看古希腊人研究数学的方法，将有助于我们了解印度数字和代数学等概念所具有的强大威力。古希腊人之所以一离开简洁美观的几何学就寸步难行，不仅因为他们处理分数的方法受到诸多限制，应用时困难重重，还因为他们没有办法处理我们现代人借助代数就可以轻松解决的问题。一旦离开几何图形和直观思维，他们面对数学问题时就会束手无策。
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以A + B = C + D这个简单的等式为例，古希腊人不会用符号的方式来处理这个步骤，而只能用文字来表述。而且，由于当时的习惯是单词之间不留空格，因此，上述等式的古希腊表达可能是：
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THEAANDTHEBTAKENTOGETHERAREEQUALTOTHECANDTHEDTAKENTOGETHER（A与B的和等于C与D的和）
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真实的情况可能会更加糟糕，因为古希腊人没有用字母或其他简单符号表示未知量的传统（如果他们真的使用字母，就会特别难以理解，因为他们在表示数字时也会使用字母）。也就是说，“文字等式”中不会出现A、B、C和D，而是用文字把需要加到一起的事物一一表述出来。这个例子再一次说明，古希腊人放弃古巴比伦人的方法是一个退步。古巴比伦人对数字的态度有所不同，他们可以解决代数学难题，甚至可以解某些二次方程。然而，二次方程的这种解法被遗忘了有千年之久。
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然而，这不能阻挡希腊数学前进的步伐。从公元250年前后至亚历山大里亚学派[4]后期，代数学研究已经得到了中等程度的发展，其中的典型代表人物是丢番图[5]。丢番图似乎重新拾起了古巴比伦人更重视数字的研究成果，还加入了古希腊研究的精髓——精确性和证明，忽略了近似表示。丢番图的最大贡献或许是他创立了符号法，代数问题从此变得简明扼要，难度也大大降低了。
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在《算术》（Arithmetica）一书中，丢番图利用符号和结构来表示未知数、10的幂和算术运算。他给出的方程与我们现在使用的方程并不完全相同，而是用一种简单明了、前后一致的符号表示。以2x4+ 3x3– 4x2+ 5x– 6为例。如果用字母S表示平方，C表示3次方，x表示未知数，M表示减，u表示数字1，丢番图的方程就是SS2 C3x5 M S4 u6。他的这些贡献，成为代数学蓬勃发展的基础。
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花剌子米的一本关于代数学的著作（Al-jabr wa’l muqābalah，书名意思不明）仅使用文字表述，甚至都没有使用丢番图发明的笨拙的方程。因此，从某种意义上说，这部著作相对于丢番图的某些研究来说是一种倒退。但是，花剌子米的著作与现代基础代数入门读物很相似，因为他给出了方程的解法，尤其是二次方程，尽管是以文字的形式表述。有人认为，阿拉伯世界当时实施的遗产继承规则十分复杂，然而，遗产金额的计算却意外推动了代数学的发展。花剌子米在解方程时通常会忽略负根，可能也是出于这个原因。
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随着花剌子米等阿拉伯人的著作被翻译流传开来，情况开始发生变化。我们知道，在斐波那奇出版《计算之书》后的几百年时间里，这套新的数字系统一直未被普通人接受。但是，与其说这是一种明智的行为，不如说这是旧有系统垂死之前的最后挣扎。那些善于使用算盘或计数表（与算盘比较相似，但是不穿绳）的既得利益者持抵制态度，可能是担心引入这些新数字后，他们在这方面的特长就会一文不值。从这个意义上看，斐波那奇选用的书名的确有几分讽刺意味。毕竟，我们都曾抱怨“新数学”与我们在学校里学到的数学并不是一回事。但是，变化是无法抗拒的。新系统的优势是非常明显的，所有对数学有所研究的人都知道，新系统被人们接受几乎是大势所趋。
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在中世纪学者中，有很多人故意贬低数学的重要性，但有一位学者发起了一场运动，为人们认识数学的重要性扫清了障碍。
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[1]婆罗摩笈多（598—约655），印度天文学家、数学家，著有《婆罗摩修正体系》。——译者注
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[2]婆什迦罗（1114—约1185），印度数学家、天文学家，著有《历算书》。——译者注
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[3]花剌子米（约780—约850），数学家、天文学家，被誉为“代数学之父”。——译者注
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[4]亚力山大里亚学派是古希腊数学家在埃及亚历山大城建立的学派，分前期（前4世纪—前146）和后期（前146—公元641）。前期以欧几里得、阿基米德等人为代表，后期以托勒密、丢番图等人为代表。——译者注
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[5]丢番图（约246—330），古希腊亚历山大里亚学派后期的重要学者和数学家，代数的创始人之一，对算术理论有深入研究。——译者注
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数学世界的探奇之旅 [:1701011749]
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数学世界的探奇之旅 第7章 培根：数学是自然科学的钥匙
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一提到“培根”这个名字，大多数人肯定会想到那位创立科研方法雏形的16世纪政治家、哲学家——弗兰西斯·培根。但是，弗兰西斯对数学的态度近乎漠不关心。在他眼中，科学研究不过是收集、整理、分类。后来，伟大的物理学家欧内斯特·卢瑟福嘲笑说，在培根眼中，“科学研究，除了物理，就是集邮”。我下面介绍的“培根”是罗吉尔·培根，与弗兰西斯·培根没有任何关系，但是他看待世间万物的观点似乎更具现代性。罗吉尔说：“对数学一无所知的人，不可能了解其他科学和世间万物。”当时的社会根本没有认识到数字和数学对于人类理解自然的重要意义，培根希望改变这种局面。