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大家想一想电池两极上的标志：一个是正号，一个是负号。我们通常认为这种标记方法是本杰明·富兰克林发明的。实际上，刚开始的时候，这两个符号仅为了表示两者的不同，而不代表数学中正数与负数之间的区别。然而，我们现在都知道电子与质子携带的电量相同，电性相反。它们没有方向，本质上是纯粹的数值（数学家和物理学家称之为“标量”），与牛顿第三定律描述的大小相等、方向相反的作用力不一样。但是，它们与正负数一样，也可以相互叠加或者抵消。
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虽然正负电荷的定义具有主观随意性，但是这些电荷都是实实在在的东西，特性与正负数相似。这似乎说明通过现代科学发现也能找到现实世界中的有理数。现在，我们知道质子、中子等粒子是由更小的粒子——夸克构成的，而夸克携带的电量是基本电荷的2/3或–1/3。尽管这些数值都不是近似值，而是一丝不差的精确值，而且看上去都是有理数，但是我们在将质子电量定义为1，将电子电量定义为–1时，我们并不知道这些粒子的电量到底是多少。实际上，夸克的电量是2或者–1，而质子和电子的电量分别是3和–3。
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我们接着讨论负数的平方根。在数学家发现他们无法利用已有的数字表示负数概念时，他们就很随意地做出了一个决定——创造一种新的数字。他们之所以这样做，并不是因为他们需要负数，而是因为他们勇于探索，渴望了解数字世界的未知领域。笛卡儿不无讽刺地为这些数字赋予了一个非常妥帖的名字——“虚数”，这些稀奇古怪的数字也变成了数学家的新宠儿。数学世界仿佛又增加了一个维度，而且这个新维度似乎与物质世界不存在对应关系。刚开始时，虚数不过是数学家的玩具，但是这些玩具的灵活性高得惊人，适用于所有的数学运算法则。
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米兰医生、数学家吉罗拉莫·卡尔达诺[1]在《伟大艺术：代数法则（第一册）》（Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus）中第一次提出虚数的基本概念，这本著作出版于16世纪上半叶。这本书之所以有名，原因可能与这本书在一定程度上涉嫌欺骗有关。卡尔达诺从同为数学家、工程师的尼科洛·塔尔塔里亚那里学会了三次方程（未知数的最高次数是3的方程，例如x3+ 4x2+ 2x+ 5 = 0）的解法，并保证不会把这个方法告诉别人。但是，卡尔达诺把这个方法写到他的书中，并且公开发表了。他在致谢中充分肯定了塔尔塔里亚的贡献，因此这不算是剽窃行为，但是他显然没有遵守自己的诺言。
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卡尔达诺还在书中顺便谈到了一个看起来无伤大雅的简单方程x2+ 1 = 0，并讨论了它的解法。这个方程与x2= –1同解（第一个方程两边同时减去1就可以得到第二个方程）。除非某个数的平方是负数，否则这个方程无解。卡尔达诺说，这样的数“不仅没什么用处，而且难以捉摸”。后来经证明发现，这个评价与事实相差甚远。19世纪，德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯发现虚数可以方便地拓展数轴，形成二维的数字平面，至此，虚数的价值才表现出来。
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我们已经知道，人们在考虑整数时，经常会想象一条左右两端分别向负无穷和正无穷延伸的水平直线，整数排列在这条直线上，0位于正中的位置。高斯沿着与这条直线垂直的方向画出了第二条直线，并让正虚数排列在朝上的方向，负虚数排列在朝下的方向。这样，平面上的任意点都可以用一个“复数”加以定义。复数是由一个实数和一个虚数构成的数。如果用i表示–1的平方根，那么5 + 2i就是一个复数，可以用来定义实数轴（横轴）上有5个单位、虚数轴（纵轴）上有2个单位的那个点。
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我们也许会认为，这不过就是将坐标系上我们都非常熟悉的x轴、y轴换了个名称而已。但是，有了这个变化之后，我们就可以把复数当作普通数字进行代数运算，应用代数学的所有法则和方法，并最终得出适合这个二维空间的结果。事实证明，复数是描述各种波的理想选择，因为这些波天然地具有二维的形态。于是，在不知不觉间，虚数就无处不在了，从简单基本的电场计算到复杂深奥的量子力学方程，我们都可以看到它们的身影。只要在计算结束时舍弃虚数结果，就不会产生虚数值电流这样的结果。实践证明，复数的用途广泛，是一个强大的数学工具，并将继续发挥它的强大作用。
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虚数是否真实存在呢？虚数显然不会与物质世界中的任何事物构成直接的对应关系。比如，我没有办法拿出3i个苹果。我可以从已有的苹果堆中拿出3个苹果，来表示–3个苹果，但即使是这种间接的办法，也无法表示3i个苹果的概念。然而，任何东西，只要它可以严格定义，而且遵从所有规则，就可以在数学世界中找到立足之地。由于虚数（特别是复数）可以有效地表现二维空间的变化，因此在它们历经艰辛闯入抽象的数学世界之后，人们发现它们竟然是解决现实世界难题的绝佳工具。
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虚数提供的是一个现实世界所没有的工具。我们可以将现实世界的难题搬到虚数世界中，用虚数提供的特有办法加以解决，然后再把它们送回现实世界。自然数非常简单，我们可以认为它们与一个物体或者一群物体存在直接的对应关系。虚数和复数则活跃于一个平行世界中，但它们仍然可以启发我们，帮助我们了解物质世界的奥秘。
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然而，在虚数真正地在实践中大放异彩之前，人们仍将借助传统而直接的正数和几何学，去征服神秘的宇宙。
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[1]吉罗拉莫·卡尔达诺（1501—1576），意大利文艺复兴时期的全能学者，古典概率论创始人。——译者注
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数学世界的探奇之旅 [:1701011751]
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数学世界的探奇之旅 第9章 牛顿：微积分与宇宙观
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数学经历了很长时间才在科研活动中找到充分展示自己的舞台，原因之一就是人们的宇宙观中普遍充斥着一种超自然的神秘性。自然哲学家认为除月球运转轨道以外的所有事物都是完美的，是由一种与宇宙中其他事物都不相同的要素（所谓的第五元素）构成的，它们能够运转，是因为天使给了它们动力。在这种情况下，很难想象数学可以发挥任何作用。但是，伽利略打破了古希腊的宇宙模型，开创性地利用数学来预测抛射体和钟摆的运动轨迹。
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艾萨克·牛顿站在这位巨人的肩膀上，绘制出宇宙力学图。借助伽利略的研究成果，只要掌握足够的数学知识、完美的数据和超强的计算能力，数学家就可以洞悉一切。牛顿是一名基督徒（尽管不是正统的基督徒），因此他不会公开宣扬，但是作为他的继承者、超级拥趸，18世纪的法国学者皮埃尔–西蒙·拉普拉斯[1]却没有任何迟疑。拉普拉斯是当时不多见的无神论者。（据说拿破仑曾经问拉普拉斯，上帝在他的哲学中处于什么位置？拉普拉斯回答说：“我不需要做那样的假设。”）牛顿认为，宇宙是一个异常复杂的机械装置，就像一座大钟，只要掌握足够的信息，拥有健全的智力，预测未来就完全有可能做到。他说：
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假设有一位智者，他能理解所有驱动自然的力，以及形成各种力量的对应环境，并且能够分析这些数据，他就可以用一个公式来表示包括最大天体与最小原子在内的世间万物的运动情况。对于他来说，没有什么东西是不确定的。未来如同历史一样，在他面前一览无余。
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牛顿永远也不会成为这样的智者，然而，当数学开始在科研活动中占据重要地位的时候，他通过计算，并借助一种新颖而神秘的数学方法——处理无穷小问题的流数术，提出了牛顿运动定律和万有引力定律。牛顿取得的成就非常重要，地位举足轻重。他的数学也许不能完美地预测未来，但是在预测作用力（尤其是神秘的万有引力）的大小及其效果时却展现出引人注目的力量。但是，为了不让他的读者感到害怕，抑或是为了让他的方法显得高深莫测，牛顿在创作他的代表作《自然哲学的数学原理》时，煞费苦心地把很多研究成果转化成传统的几何学。牛顿的世界就像一个钟表，表现出确定性和可预测性。
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牛顿的成果可以转化成几何学形式，可能要归功于他的法国前辈、哲学家笛卡儿的研究成果。笛卡儿有两件事让人们难以忘记：“我思故我在”的宣言，以及以他的名字命名的“笛卡儿坐标系”。但这只是冰山一角，他的研究包罗万象，不仅涉及光学理论，他还试图从科学的角度研究灵魂。
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笛卡儿坐标系的意义远不只是用一组数字表示一个点这么简单（早在13世纪，培根就已经知道这个方法了）。笛卡儿还创立了在几何形状与等效代数方程之间来回转换的解析几何学。例如，利用（x，y）坐标值，可以画出方程（例如y=x2+ 2x+ 3）的图像。同样，自然界中有很多变化过程也可以绘制成图像，从而与代数方程对应起来，这样就可以大大降低预测结果的难度。
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笛卡儿的这个方法使奥雷姆利用图像表示函数的想法变成现实，它将在牛顿的研究工作中发挥巨大的作用，使他的大多数代数研究成果隐藏在几何学的外衣之下。笛卡儿本人似乎也没有意识到这个概念到底有多大的影响力，他在《几何学》（La Géométrie）中介绍了这个概念，并且说这是一个非常简单的构建几何形状的方法。从本质上看，他认为这与牛顿将代数学问题转换为几何学问题的方法比较相似，而没有像现代人一样，看到它将空间问题转换为代数学问题的真正威力。但是，无论笛卡儿的目的是什么，他都为我们创造了一个将几何学问题转换为代数学问题的方法。几何学与我们周围世界的联系更直观，而代数学则给人一种更抽象的感觉，大多数的现代数学研究都采用了这种方法。
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牛顿在数学领域取得的杰出成就——流数术古已有之，可以追溯至古希腊时代。古希腊人对图形不断进行分割，使之变成许多尽可能小的形状，然后计算这个图形面积的近似值。例如，如果想计算圆的面积，我们可以想象沿着半径的方向，将圆分割成一系列橘瓣状的平面图形。随着这些“橘瓣”越来越窄，它们就会越来越接近三角形，三角形的面积是很容易计算的。把这些“橘瓣”以相对的方向拼接在一起，所得到的形状就接近于宽为r、高为πr的矩形。即便你不是数学天才，也可以计算出圆的面积。
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尽管这类方法最早是在古希腊时代提出来的，但是直到15世纪，德国哲学家尼古拉斯才用这个方法计算出我们所熟悉的πr2。他认为，这个方法计算的其实是数量无穷多、面积无穷小的一个个图形的面积，因此不是一个严格的数学方法，不能得出精确的结果。但是，他承认这个方法可以有效地对正确答案进行预测，因为随着分割的图形越来越小，它们重新拼接而成的形状将越来越接近标准的矩形。
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