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也就是说，我们可以用速度变化量除以时间变化量求出加速度：
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展开完全平方式，然后去掉括号，就会得到：
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上式化简后变成：
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分子、分母同时消去o，就会得到：
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2t+o
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最后，我们略去小小的流动量o，就会得到答案2。这个答案是正确的。至此，我们已经计算出当时间为t时，加速度是2t。但在得出这个正确答案的过程中，某些步骤有些不可靠，令人担心。既然o最终变成0，那么在前一步中，分子、分母同时消去o的做法就会涉及0除以0。我们已经知道，这种运算不符合数学法则。
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牛顿非常清楚这个问题，因此他试图通过一种相当于约分的方式予以解决。他说，他处理的是比值，而且他的流动量就像约翰·沃利斯说的那样，是可以稀释的，意思是流动量可以消失，但并不真的等于0。这个理由并不高明，但是流数术的确有效，牛顿也没有因为它不完全符合数学运算法则就放弃它。在《自然哲学的数学原理》一书里，他尽量将代数运算过程转换为几何证明，以便尽可能地掩饰这个问题，但是他很快就遇到一个更加迫切的问题：竞争。
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竞争压力来自德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨。据我们所知，在牛顿发明流数术的同时，莱布尼茨也在独立进行着同样的研究。牛顿知道德国人正在进行这项研究，因为他和莱布尼茨都与伦敦的英国皇家学会有联系。牛顿和莱布尼茨之间有过几次充满猜疑的通信交流，其中一封信非常有名，因为牛顿在信中写下了这句话：
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我现在无法继续解释流数术，因此我宁愿将它隐藏在这段密码中：6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx
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牛顿的做法是当时的一个学术惯例：用一句话概括流数术，然后把句子中字母的频率记录下来，用作保护自己成果的密码。牛顿这样做的目的是宣示自己的首发权，但根据解码后的那句话——Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire: et vice versa（已知包含若干流动量的方程，求流数；或者反过来，已知流数，求流动量），我们很难确定他的方法到底是什么。（后来，他又进一步做出了比较隐晦的澄清。）此时，牛顿完全可以公开发表他的方法并夺得首发权，但是直至去世，他也不愿意分享自己的想法，很多时候都是在同事的恭维下他才肯透露一二的。对于自己的成果，他总是秘而不宣。
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1684年，莱布尼茨公开发表了他的研究成果，并为这项与流数术有异曲同工之妙的研究成果起了个名字——微积分。他的这个举动令牛顿对他的猜疑之心达到了顶点。莱布尼茨使用的是一套迥然不同的符号，而且实践证明这套符号使用起来更方便，但是它的原理与牛顿的流数术如出一辙。牛顿使用的是一种点状符号，比如，在字母x上方加一个点，表示它的变化量，而莱布尼茨从希腊字母δ表示较小变化这个传统用法中得到灵感，用字母d表示被牛顿称为流动量的无穷小变化，即莱布尼茨的表示方法是dx/dt。这个符号不仅更清楚，而且处理起来更加方便。
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莱布尼茨还为这种“微分”（按照尼古拉斯提出的办法，将许多小形状拼接在一起，以计算整个图形的面积）的逆运算设计了一个独特的符号。他把微分的逆运算称作积分，并用拉长的S——∫（来自拉丁语中表示求和的词）作为积分符号。牛顿的抱怨没有充分的正当理由，不发表研究成果也是他自己的决定。但是，由于牛顿的种种质疑，英国数学家都认为莱布尼茨有剽窃之嫌。
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1708年，苏格兰数学家约翰·基尔在英国皇家学会的《哲学会刊》上发表文章，对莱布尼茨进行了直言不讳的指责（很有可能是牛顿要求他这样做的），气氛变得紧张起来。由于牛顿和莱布尼茨都是英国皇家学会的成员，因此英国皇家学会宣布成立一个11人委员会调查此事，以确定首发权的归属。由英国皇家学会会长亲自撰写的报告表明，情况对牛顿更有利。然而，这个结果并不令人感到奇怪，因为英国皇家学会当时的会长正是艾萨克·牛顿。从此以后，英国数学界与欧洲大陆数学界之间的关系降到了冰点，并且在随后几十年里都没有改善。
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无论这两位数学家采取的是什么方法，无论到底是谁先创立了微积分，他们后来都遭到了哲学家乔治·伯克莱的猛烈攻击。这位主教在一篇文章中指出，牛顿和莱布尼茨在某些方面误入了歧途。这篇文章有一个气势恢宏的标题——“致分析家，或一位不信奉上帝的数学家”。伯克莱所说的那位不信奉上帝的数学家可能是指天文学家埃德蒙·哈雷，因为牛顿出版《自然哲学的数学原理》一书时得到了哈雷的帮助。哈雷是无神论者，他对伯克莱的信仰提出了质疑。作为回应，伯克莱对流数术进行了讨伐。
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伯克莱给流数起了一个富有诗意的名称——“逝去量的鬼魂”，并且指出，尽管流动量在计算过程中变成0，但后来它又回来了。要采用这样的方法，似乎必须借助信仰的力量，才能让人们接受一种无法想象的概念。伯克莱认为，那些批评宗教的人是表里不一的伪君子，因为他们的这个做法与宗教没有任何区别。无论这位主教是出于什么目的，我们已经知道，他提出的那个问题确实存在。的确，如果在运算过程中把那些无穷小量当作0来处理，流数术（也就是微积分）就是可行的，但这样的处理在数学上却是行不通的。
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伯克莱称，牛顿和莱布尼茨能得出正确答案纯属运气好，是两个错误相互抵消的结果。他说：“接连出现两个错误，反而歪打正着得出了正确答案，但这不是科学。”牛顿的辩解理由是，这些极小的变化量具有流动性，它们并没有彻底消失，而是处于逐渐消失的状态。在上例中，当2t+o变成2t时，牛顿可以说结果趋近2t，是因为o趋近0，但是这个无穷小量永远不会真正等于0。从数学的角度看，这个解释只能算语焉不详、理由不充分的权宜之计。直到19世纪，才有两位数学家为微积分堵上了这个漏洞，彻底解决了这个问题。
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19世纪20年代，奥古斯丁·路易·柯西重新定义了微积分中的无穷大和无穷小的概念，称它们是变量，意思是它们都趋近某个数值。随后，19世纪50年代，卡尔·魏尔斯特拉斯引入了极限的概念，这是我们今天仍使用的标准方法。有了极限的概念，我们就可以把某个终值确定为某个变量为无穷小时得到的极限值，条件是终值接近这个极限值的速度快于某个最低限度。魏尔斯特拉斯通过严格的证明告诉我们，只要接近极限值的速度足够快，微积分的方法就肯定有效。从某种意义上说，魏尔斯特拉斯在微积分计算的过程中抛弃了潜无穷的概念，而只要求接近极限值的（有穷）速度必须足够快。
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我们将在第12章详细讨论无穷大这个概念，但是现在，我们只需知道这个概念在现实世界非常难以理解，甚至不可能被人们理解，然而，它对数学却产生了深远的影响。这个概念使牛顿的力学世界成为现实，从而证明了它具有无与伦比的价值。尽管极限概念的确立意味着无穷大永远失去了用武之地，但是微积分利用无穷小和无穷大搭建出的神奇的数学世界，就这样悄无声息地潜入了现实世界。在尘埃落定之后，人们惊奇地发现它与现实世界的关系竟然十分和谐。
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微积分要求我们想象瞬间发生的情况，然而在极其短暂的瞬间，任何事似乎都不可能发生。古希腊哲学家芝诺提出的一个著名悖论——飞矢不动悖论，反映的就是这个问题。尽管下面的这个设想与飞矢不动悖论在文字表述上有所不同，但这是想象飞矢运动情况的最有效办法：我们可以想象一共有两支箭，一支飘浮在我们眼前的空中，静止不动，而另一支箭从弓弦上射出，闪电一般从第一支箭旁边飞过。
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假设在第二支箭与第一支箭并排的一瞬间，我们冻结时间，然后研究这两支箭。在那一刻，这两支箭似乎一模一样。一支箭在运动，另一支则没有运动，但两支箭都悬浮在空中。芝诺说，我们不能区分两者状态的不同，说明我们对运动和变化的理解是非常片面的。
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现在，我们知道这两支箭的物理属性在某些方面明显不同：那支运动的箭有惯性。尽管在时间静止的状态下我们无法感知这一点，但是惯性依然存在。此外，狭义相对论明确指出，物体在运动时，质量会变大。因此，如果古希腊人有能力，就可以比较两支箭的精确质量，从而区分它们的状态。