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数学世界的探奇之旅 [:1701011751]
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数学世界的探奇之旅 第9章 牛顿：微积分与宇宙观
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数学经历了很长时间才在科研活动中找到充分展示自己的舞台，原因之一就是人们的宇宙观中普遍充斥着一种超自然的神秘性。自然哲学家认为除月球运转轨道以外的所有事物都是完美的，是由一种与宇宙中其他事物都不相同的要素（所谓的第五元素）构成的，它们能够运转，是因为天使给了它们动力。在这种情况下，很难想象数学可以发挥任何作用。但是，伽利略打破了古希腊的宇宙模型，开创性地利用数学来预测抛射体和钟摆的运动轨迹。
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艾萨克·牛顿站在这位巨人的肩膀上，绘制出宇宙力学图。借助伽利略的研究成果，只要掌握足够的数学知识、完美的数据和超强的计算能力，数学家就可以洞悉一切。牛顿是一名基督徒（尽管不是正统的基督徒），因此他不会公开宣扬，但是作为他的继承者、超级拥趸，18世纪的法国学者皮埃尔–西蒙·拉普拉斯[1]却没有任何迟疑。拉普拉斯是当时不多见的无神论者。（据说拿破仑曾经问拉普拉斯，上帝在他的哲学中处于什么位置？拉普拉斯回答说：“我不需要做那样的假设。”）牛顿认为，宇宙是一个异常复杂的机械装置，就像一座大钟，只要掌握足够的信息，拥有健全的智力，预测未来就完全有可能做到。他说：
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假设有一位智者，他能理解所有驱动自然的力，以及形成各种力量的对应环境，并且能够分析这些数据，他就可以用一个公式来表示包括最大天体与最小原子在内的世间万物的运动情况。对于他来说，没有什么东西是不确定的。未来如同历史一样，在他面前一览无余。
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牛顿永远也不会成为这样的智者，然而，当数学开始在科研活动中占据重要地位的时候，他通过计算，并借助一种新颖而神秘的数学方法——处理无穷小问题的流数术，提出了牛顿运动定律和万有引力定律。牛顿取得的成就非常重要，地位举足轻重。他的数学也许不能完美地预测未来，但是在预测作用力（尤其是神秘的万有引力）的大小及其效果时却展现出引人注目的力量。但是，为了不让他的读者感到害怕，抑或是为了让他的方法显得高深莫测，牛顿在创作他的代表作《自然哲学的数学原理》时，煞费苦心地把很多研究成果转化成传统的几何学。牛顿的世界就像一个钟表，表现出确定性和可预测性。
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牛顿的成果可以转化成几何学形式，可能要归功于他的法国前辈、哲学家笛卡儿的研究成果。笛卡儿有两件事让人们难以忘记：“我思故我在”的宣言，以及以他的名字命名的“笛卡儿坐标系”。但这只是冰山一角，他的研究包罗万象，不仅涉及光学理论，他还试图从科学的角度研究灵魂。
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笛卡儿坐标系的意义远不只是用一组数字表示一个点这么简单（早在13世纪，培根就已经知道这个方法了）。笛卡儿还创立了在几何形状与等效代数方程之间来回转换的解析几何学。例如，利用（x，y）坐标值，可以画出方程（例如y=x2+ 2x+ 3）的图像。同样，自然界中有很多变化过程也可以绘制成图像，从而与代数方程对应起来，这样就可以大大降低预测结果的难度。
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笛卡儿的这个方法使奥雷姆利用图像表示函数的想法变成现实，它将在牛顿的研究工作中发挥巨大的作用，使他的大多数代数研究成果隐藏在几何学的外衣之下。笛卡儿本人似乎也没有意识到这个概念到底有多大的影响力，他在《几何学》（La Géométrie）中介绍了这个概念，并且说这是一个非常简单的构建几何形状的方法。从本质上看，他认为这与牛顿将代数学问题转换为几何学问题的方法比较相似，而没有像现代人一样，看到它将空间问题转换为代数学问题的真正威力。但是，无论笛卡儿的目的是什么，他都为我们创造了一个将几何学问题转换为代数学问题的方法。几何学与我们周围世界的联系更直观，而代数学则给人一种更抽象的感觉，大多数的现代数学研究都采用了这种方法。
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牛顿在数学领域取得的杰出成就——流数术古已有之，可以追溯至古希腊时代。古希腊人对图形不断进行分割，使之变成许多尽可能小的形状，然后计算这个图形面积的近似值。例如，如果想计算圆的面积，我们可以想象沿着半径的方向，将圆分割成一系列橘瓣状的平面图形。随着这些“橘瓣”越来越窄，它们就会越来越接近三角形，三角形的面积是很容易计算的。把这些“橘瓣”以相对的方向拼接在一起，所得到的形状就接近于宽为r、高为πr的矩形。即便你不是数学天才，也可以计算出圆的面积。
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尽管这类方法最早是在古希腊时代提出来的，但是直到15世纪，德国哲学家尼古拉斯才用这个方法计算出我们所熟悉的πr2。他认为，这个方法计算的其实是数量无穷多、面积无穷小的一个个图形的面积，因此不是一个严格的数学方法，不能得出精确的结果。但是，他承认这个方法可以有效地对正确答案进行预测，因为随着分割的图形越来越小，它们重新拼接而成的形状将越来越接近标准的矩形。
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还有一些人也接受了这个方法，其中最著名的当属天文学家约翰尼斯·开普勒，但是，真正解决无穷小问题的却是与牛顿同时代的约翰·沃利斯。如果不是被牛顿的光芒所掩盖，这位数学家的名气将会大得多。例如，他提出，我们可以认为那些用来计算总面积的小形状可以“稀释”，也就是说，它们可以根据需要变得非常小，但又不会彻底消失。这个词显然会让人们联想到牛顿取得重大突破时采用的那个方法。牛顿在提出流数术时，考虑的就是流动量（流数术这个名称由此而来）。牛顿的流数术不仅帮助他获知了万有引力的奥秘，还在数学家之间引发了一场持续百年的争论。
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从艾萨克·牛顿的家庭图书馆的目录就可以看出，他的兴趣非常广泛。到他去世时，他拥有大约2 100本藏书。这在当时是非常了不起的藏书量，他所在的学院——剑桥大学三一学院所拥有的藏书还不到他的两倍。他有235本物理学和数学方面的书，有138本炼金术方面的书，神学方面的书也非常多，有477本。此外，他还有207部文学作品、46本游记、31本经济学著作，以及6本关于勋章的书（牛顿后来担任英国皇家造币厂厂长，负责铸造钱币和勋章）。由于兴趣广泛，相较科学研究，他花在炼金术与神学上的时间多得多。
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即便如此，牛顿仍然为科学做出了巨大的贡献，包括对光与颜色的研究和发现万有引力定律。他的力作《自然哲学的数学原理》是在流数术的基础上写成的，这个功能强大的方法从本质上看是一种数学工具，它给人一种违背自然规律的感觉，因为它的目的是预测宇宙间所有事物的行为。
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牛顿晚年被奉为科学界第一名人，随之而来的是“牛顿神话”，人们认为牛顿在20岁出头的时候就发明了流数术。当时，由于爆发了一场瘟疫，剑桥大学疏散了校内人员，牛顿被迫回到林肯郡的家庭农场休假。在此期间，他进行了一番思考，但是，从他留下的笔记来看，牛顿的流数术显然是花费了20年的时间才逐渐成熟的。
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牛顿的流数术也可以将图形分割成越来越窄的许多小形状，然后计算图形的面积。但是，牛顿提出这个新的数学方法的主要目的是，计算加速度等随时间变化的因素，这对于研究万有引力，以及比较月球绕地球运转与苹果自由落体运动之间的异同都具有非常重要的意义。利用牛顿的流数术计算加速度，就可以理解这个方法的原理。计算时需要使用几个方程，尽管这些方程非常简单，但是如果大家觉得有难度，可以跳过不读。
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加速度是速度（包括速率和方向）变化量与时间的比值。为方便起见，我们在本例中假设运动方向保持不变，这样我们只需考虑速率的变化量。这是一种稳定的“线性”关系。假设1秒钟后的速度是每小时10英里，2秒钟后是每小时20英里，3秒钟后是每小时30英里，以此类推。为了计算出加速度，我们可以认为它就是一秒钟时间里速度的变化量。在本例中，速度每秒钟的变化量是10英里。研究这种加速度的一个便利方法，就是把它看作山的坡度。观察上图，就可以看出速度随时间的变化情况。
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加速度就是这条直线的倾斜度，即斜率，是速度变化量与时间变化量之比。但是在现实世界中，很多关系并不像直线那样简单。例如，牛顿很早以前就知道，万有引力遵循平方反比定律，也就是说，万有引力的大小与物体和引力源距离的平方之间存在某种关系。把速度按照这种关系发生变化的情况绘制成图像，得到的将不是一条直线，而是一条曲线。
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下面我们研究一下速度与时间存在简单平方关系时的加速度。在这种情况下，速度与时间的关系可以绘制成下面这个图。
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由于该图不像直线那样便于处理，所以我们不能直接用速度变化量除以时间变化量来计算加速度。但如果我们考虑一个非常短的时间段，那么这段曲线就近似于一条直线。因此，我们可以利用速度变化量除以时间变化量的老办法，计算出一个加速度的近似结果。牛顿当年就是这样做的。我们用s表示速度，用t表示时间。牛顿把那个短暂时刻里的微小时间增量称作“流动量”，并用一个类似于扭曲的零的符号（o）表示。因此，在这个短暂时刻里时间的变化量是（t+o） –t，时间变化又导致速度发生了变化（别忘了，s=t2）：
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(t+o)2–t2
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