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赌博业的历史源远流长，人们曾经在有几千年历史的考古地点发掘出几个表面光滑的指关节，这是一种早期的四面体色子。自从有了硬币之后，抛硬币的游戏就开始兴起，而且似乎经久不衰。这个游戏非常简单，可以直接利用硬币的正反两面得到随机数据。至少在硬币没被动过手脚的情况下，它产生的都是随机数据。自古以来，人类就嗜赌，无论是对赛跑还是天气打赌，都能让人们享受到赌博的乐趣。总体而言，无论是赌徒还是诚实的庄家，他们依赖的基本都是直觉和猜测。然而，在意大利数学家（也是一名狂热的赌徒）吉罗拉莫·卡尔达诺出现之后，这种状况就发生了彻底的变化。
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前文在讨论虚数时提到过卡尔达诺，他把变幻莫测的可能性引入数学世界，这不仅对数学的未来发展具有重要意义，而且在将数学与难以捉摸的寻常事物分离开的过程中，也发挥着举足轻重的作用。卡尔达诺出生于1500年前后，20多岁时开始撰写一本关于概率的书，但是直到他60多岁时才写完。最终，这本书于17世纪60年代出版。一般而言，这么长的时间跨度足以让它淡出人们的视线，但是它的出版仍然引起了人们的广泛关注，这说明卡尔达诺的思想非常超前。这本书就是《机遇博弈》（Liber de Ludo Aleae）。
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几乎所有经常玩抛硬币游戏的人都知道，如果硬币没有问题，抛出正面和反面的概率是相等的。没有人知道下一次抛掷会出现什么结果，但是出现正面或者反面的可能性是均等的。卡尔达诺的贡献在于，通过简单直接的观察，将观察结果变成一个数字结构——把分数的概念与对未来的预测结合起来，使我们对一个简单的系统（例如抛硬币）有了深刻的理解。
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当然，硬币没被动过手脚这个限制条件非常重要。要让人们尊重概率，难点之一就在于赌徒（尤其是职业赌徒）经常作弊。有的职业赌徒通过使用两面都是正面图案的硬币，在抛硬币游戏中无往不利，有的则在三牌赌皇后游戏中熟练使用简单而有高度欺骗性的“从最上面拿牌”的手法[1]。但是，他们都有一个共同点：他们仿佛具有某种魔力，可以轻易地误导那些容易上当的对象，说服他们参加赌博游戏。我们至少可以认为职业赌徒、魔术师和小偷之间的界限比较模糊。
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我在做关于概率和统计学的报告时，通常会一开始先举抛硬币的例子。我会拿出一枚硬币，并告诉观众，我在报告开始之前已经花了一些时间抛这枚硬币，并且最后9次的结果都是正面。（这个结果完全是有可能的，但是通常需要花一点儿时间。）然后，我问观众，如果我再抛一次硬币，会出现什么样的结果？一种观点认为，既然正面和反面各有一半的概率，在出现这么多的正面之后，下一次出现反面的可能性应该更大。还有一种观点认为，因为这枚硬币明显偏向正面朝上，因此下一次出现正面的可能性更大。到底哪一种观点是正确的呢？总有一些人会说，“出现反面的可能性更大”，这就是所谓的“赌徒谬误”，因为在现实世界中，硬币没有记忆能力，之前的结果不会对之后的结果产生任何影响。然而，在连续出现同一个结果之后，人们很容易就会以为接下来出现另外一种结果的可能性更大。
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通常情况下，大多数观众都会给出正确答案：出现正面和反面的概率各一半。但是，有一些人仍然认为出现正面的概率更大。这可能是经常出现在体育比赛中的另外一个谬误——热手谬误。所谓热手谬误是指，体育迷认为一连串好的结果意味着某位选手或某支球队将保持“连胜势头”。但如果我又连续抛出三个正面，观众就开始产生怀疑。他们的怀疑是正确的：我使用的硬币两面都是正面。（此时，观众会提出相同的问题：“你从哪里搞到这枚硬币的？”答案是电子港湾网站。）有趣的是，观众不可避免地对这枚硬币产生了强烈的兴趣，就好像电影中的高明骗局使我们欲罢不能一样。他们希望看一看这枚有两个正面的硬币，还想亲手摸一摸这个邪恶的道具。
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在卡尔达诺那个年代，人们都知道，只要硬币质地均匀，出现正面或反面的可能性是一样的。（严格地说，真实情况并非如此。根据抛掷的方式，标准硬币出现正面和反面的概率大约是51∶49或49∶51，第一次抛掷时朝上的一面略占优势。）但是，没有人把这种机会均等的情况变成一种适合数学研究的形式。尽管表达抛硬币时正面朝上的可能性的方法有很多，诸如机会均等，各占一半，但是只有用可以进行算术运算的数字来表示，它才最有利于数学研究。第一个提出用从0（表示“不会发生”）到1（表示“肯定会发生”）的数字表示概率的人正是卡尔达诺。根据这种方法，硬币正面朝上的可能性可以表示为1/2。
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这种表现形式直截了当，但是除了为预测行为奠定数学基础之外，卡尔达诺还有其他的贡献。［卡尔达诺应该没有使用“概率”（probability）这个词。从14世纪开始，法语中就出现了这个词，意思是“不确定，但是有可能”。至于具有现代数学意义的“概率”概念，最早的使用记录只能追溯至1692年。］套用他处理抛硬币时使用的那个方法，我们可以说，从我们现在使用的一副普通扑克牌（不包括大小王）中抽出某一张牌的可能性是1/52。
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卡尔达诺还提出了计算组合概率的两个重要方法。后来的事实证明，这两个方法对于所有赌博游戏玩家来说都具有非常重要的意义（别忘了，卡尔达诺不仅是一名数学家，还是一名狂热的赌徒）。第一个方法可以帮助我们计算得到多个可能结果的组合概率。比如，根据卡尔达诺最初的理解，我们知道掷一次色子得到任何特定点数（例如6）的概率是1/6。但是，如果你想知道得到1点或者6点的可能性，答案就应该是2/6，也就是1/3。
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卡尔达诺还证明，计算两枚色子掷出相同点数（例如在双色子游戏中掷出两个6点或者两个1点）的组合概率的方法是将两个分数相乘，也就是1/6×1/6，即1/36。因此，得到某个相同点数的可能性只有1/36。此外，他还发现，这与用两枚色子掷出一个1点和一个6点略有不同。要得到后面的结果，一共有两种方法：第一枚色子得到1点，第二枚色子得到6点，或者第一枚色子得到6点，第二枚色子得到1点。因此，概率是1/36 + 1/36 = 2/36，即1/18。
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卡尔达诺最巧妙的一个发现是计算双色子游戏中任意一枚色子得到6点的概率。也就是说，我掷两枚色子，至少有一枚掷出6点。至于是一个6点还是两个6点，以及哪枚色子得到6点，我都不在乎。我们经常会遇到这种组合概率，而人们的自然反应是使用加法。每枚色子得到6点的概率都是1/6，因此第一反应是把它们加到一起。但这种做法显然是错误的，否则，只需6枚色子就能确保得到一个6点。而玩过色子游戏的人都知道，真实情况并不是这样。
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现在的问题是要想办法表示“任意一枚”的可能结果。卡尔达诺的高明之处在于他发现，这个问题可以先转化为“两枚色子都没有”的问题，再用他发明的方法，即用乘法算出概率。如果一枚色子得到6点的概率是1/6，那么结果不是6点的概率就是5/6。因此，两枚色子都没有掷出6点的概率是5/6×5/6，即25/36。也就是说，两枚色子中有任意一枚掷出6点的可能性是1 – 25/36，即11/36。与用一枚色子掷出6点的概率相比，前者比后者的两倍（12/36）还小。随着色子的数量增加，这个概率将会趋近1（也就是肯定有色子掷出6点），但永远不会等于1。因此，即使同时掷出很多枚色子，也有可能没有一个6点。
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在卡尔达诺之后，人们对他的研究成果进行了完善和发展，其中最著名的是法国数学家布莱瑟·帕斯卡和皮埃尔·德·费马，两人合作解决了一个众所周知的难题，从而让概率变成一个深受保险业欢迎的工具。他们解决的那个难题叫作“点数分配问题”。两名势均力敌的玩家因为一笔奖金而“激战”，根据规则，点数首先达到某个数字的玩家获胜。但是，如果他们在游戏结束时还没有决出胜负，该怎么分配那笔奖金呢？
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假设每赢一局就得一点，在游戏结束时，一位玩家有12点，另一位玩家有7点。帕斯卡认为，要想合理地分配这笔钱，就需要考虑若游戏可以一直持续下去直至两人决出胜负，每名玩家需要赢多少局才能获胜。假设设定的目标是15点。在这种情况下，第一位玩家只需再赢3局就可以获胜，而第二位玩家还需要再赢8局。帕斯卡根据双方获胜还需要赢得的点数，考察了接下来可能发生的情况，然后用数学语言给出了一个公平分配奖金的方案。他提出的其实是一个叫作“期望值”的概念。所谓期望值，是指根据预期，某个可以产生随机结果的过程在连续重复多次后可能得到的结果。
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下面我举一个非常简单的例子。假设游戏规则要求你连续掷色子10次，然后根据掷出的平均点数获得相应的现金。赌注设为多少时，这个游戏才值得参与呢？常识告诉我们，我们赢到的钱可能是概率的中值。难得的是，这次我们的常识是正确的（在涉及概率时，常识往往并不可靠）。你也许会不假思索地回答3，因为3是6的一半。但是，如果我们把1—6这6个值排成一排，就会发现中间值应该是3和4的平均值，也就是说期望值是3.5。
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我们也可以通过一种更严谨的方式来考虑这个问题。掷出1点的可能性是1/6，掷出2点的可能性是1/6，以此类推，掷出6点的可能性也是1/6。求1×1/6 + 2×1/6 + 3×1/6 + … + 6×1/6的和，得数为21/6，即3.5。既然你有可能赢得的预期奖金是3.5美元，那么赌注低于这个金额都是可以接受的。在任意一局中，你都有可能输钱，但是只要玩的局数足够多（并准备足够多的本金），最终的赢家应该还是你。
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计算交易期望值的概念绝不仅限于赌博，它是各种现代金融系统的基础，其中最典型的例子就是保险公司。它们就像赌博玩家。保险公司通过设定赔率，保证即使自己在某一“局”（他们称之为“保险单”）赔钱，也总体来说一定会赚钱。当然，赌场也是这样。重要的是，这个计算方法可以用于权衡不同的选择方案，并帮助我们做出最有利的决定。
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比如，假设你有两个可能的投资方案。一个投资方案有1/2的可能性赢利1 000美元，有1/2的可能性不赢利；另一个投资方案有1/4的可能性赢利1 900美元，有3/4的可能性不赢利。哪个投资方案更有利呢？我们可以用概率乘以投资结果的方式计算出期望值。如果选择第一个投资方案，期望值就是500美元，而第二个方案的期望值是475美元。因此，第一个投资方案对你更有利，尽管第二个方案有可能赢利更多。如果某个投资方案会产生不止一个可能的结果，就要把发生这些结果的可能性加到一起。
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同其他基于概率的预测方法一样，期望值也没有魔力，无法完成不可能的任务。期望值不会告诉你掷一次色子能赢得什么，但是只要你掷色子的次数足够多，就可以根据期望值预测可能的结果，至少在公平游戏中可以做到这一点。伯努利家族的一位才华横溢的成员指出，在某些情况下，期望值也不可靠。
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在介绍伯努利的发现之前，我们先设想一种十分荒谬的彩票，以此说明期望值这种简单的计算方式有时未必有效。（我之前举的例子都是碰运气的游戏，在这些游戏中我们可以计算出精确的概率。同样的方法也可以应用在商业投资、购买保险等方面，但是此时，我们只能根据具体情况对概率做出估计。）
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这种彩票有两种票面，价格都是10美元，但是第一种票面有9/10的概率赢得11.11美元，而第二种票面有1/100 000的概率赢得100万美元。所以，这两种票面的期望值都是10美元。期望值与票面价格相同，对于彩票而言是非常难得的。在彩票与赌场等赌博游戏中，期望值通常必须低于票面价格，这样经营者才有利可图。但是，这种彩票的经营者非常慷慨。因为这两种票面的期望值相同，所以我们在购买彩票时应该不会过于关注选择哪一种。但是，这两种票面带来的结果似乎大不相同。结果是否诱人，决定因素似乎不是期望值，而是你的个人情况。到底选择哪一种票面，可能要看10美元在你的日常生活中具有什么样的意义。
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为帮助大家更好地理解这一点，我举一个更夸张的例子。我在讲座中谈到我的《色子世界》这本书时，经常会跟观众做一个叫作“最后通牒博弈”的心理游戏。心理学家经常通过这个实验告诉大家，经济学家根本不了解人的心理（心理学家都喜欢揭经济学家的短儿）。通常，这个游戏会设立一笔小奖金（例如1美元），由两名玩家展开博弈。第一名玩家告诉第二名玩家这笔钱的分配方案，第二名玩家可以说“行”或者“不行”。如果第二名玩家说“行”，这笔钱就会按照第一名玩家制订的分配方案进行分配。如果第二名玩家说“不行”，那么他们两个人都不会有任何收获。
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经济学家和逻辑学家都认为，只要第一名玩家不打算独吞这笔钱，第二名玩家就会接受他提出的任何分配方案，因为拒绝接受意味着一分钱也拿不到，这样的决定似乎太不合理了。你可以问任何人一个问题：“如果有人白送你一些钱，你会拒绝吗？”答案通常是：“当然不会！”但是事实上，如果第一名玩家分给第二名玩家的钱低于奖金总额的30%，第二名玩家通常就会拒绝接受。这个数字适用于美国人和欧洲人。不同国家的人对分配方案有不同的要求，但是绝大多数人都对分配比例有一个最低要求。为了惩罚另一位玩家的不公平做法，人们宁愿承受一定的经济损失。但我们也可以利用这个游戏，反过来证明心理学家对人们心理的把握也不是很准确。
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在玩完传统意义的最后通牒博弈游戏后，我请参加讲座的观众在脑海里重玩这个游戏，但这次的奖金不是心理学家提供的，而是一位大富豪，奖金额增加至1 000万美元。（事实上，我在做这个实验时，通常会把奖金设为1 000万英镑，但结果没有什么不同。）现实点儿说，如果第一名玩家分给第二名玩家10万美元，第二名玩家很可能不会拒绝，尽管他只能得到总奖金的1/100，而第一名玩家能得到990万美元。因此，我让观众都站起来，然后按照由多至少的顺序，告诉他们可以从这1 000万美元中分得的金额。我还告诫他们要诚实，一旦觉得我给出的金额低于他们愿意接受的最低值，就坐下来。
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做实验时，我们使用的不是真钱，因为我仍在苦苦寻找愿意资助这项实验的大富豪。我觉得，由于不是真金白银，很多人夸大了他们拒绝接受的金额。但是，通常情况下，在金额高于50 000美元时决定坐下来的人不是太多；在金额降到10 000美元以下、5 000美元以上时，大多数观众都会坐下来；等到金额降至500美元时，站着的人已经寥寥无几了。当我说出1美元时，只有1—4名观众仍然站着。一想到人们为了报复对方而宁愿放弃（至少他们声称如此）一大笔钱，我就觉得这个实验非常有意思。我在前面介绍的那种奇怪的彩票，给了人们两个选择：一个是有9/10的概率赢得11.11美元，另一个是有1/100 000的概率赢得100万美元。结果，人们的反应与他们在最后通牒博弈游戏中的表现是一样的。在最后通牒博弈游戏中，最后仍然站着的人通常是青少年。1美元对于他们的意义远胜于在中年观众心目中的价值。
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