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莱布尼茨还为这种“微分”（按照尼古拉斯提出的办法，将许多小形状拼接在一起，以计算整个图形的面积）的逆运算设计了一个独特的符号。他把微分的逆运算称作积分，并用拉长的S——∫（来自拉丁语中表示求和的词）作为积分符号。牛顿的抱怨没有充分的正当理由，不发表研究成果也是他自己的决定。但是，由于牛顿的种种质疑，英国数学家都认为莱布尼茨有剽窃之嫌。
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1708年，苏格兰数学家约翰·基尔在英国皇家学会的《哲学会刊》上发表文章，对莱布尼茨进行了直言不讳的指责（很有可能是牛顿要求他这样做的），气氛变得紧张起来。由于牛顿和莱布尼茨都是英国皇家学会的成员，因此英国皇家学会宣布成立一个11人委员会调查此事，以确定首发权的归属。由英国皇家学会会长亲自撰写的报告表明，情况对牛顿更有利。然而，这个结果并不令人感到奇怪，因为英国皇家学会当时的会长正是艾萨克·牛顿。从此以后，英国数学界与欧洲大陆数学界之间的关系降到了冰点，并且在随后几十年里都没有改善。
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无论这两位数学家采取的是什么方法，无论到底是谁先创立了微积分，他们后来都遭到了哲学家乔治·伯克莱的猛烈攻击。这位主教在一篇文章中指出，牛顿和莱布尼茨在某些方面误入了歧途。这篇文章有一个气势恢宏的标题——“致分析家，或一位不信奉上帝的数学家”。伯克莱所说的那位不信奉上帝的数学家可能是指天文学家埃德蒙·哈雷，因为牛顿出版《自然哲学的数学原理》一书时得到了哈雷的帮助。哈雷是无神论者，他对伯克莱的信仰提出了质疑。作为回应，伯克莱对流数术进行了讨伐。
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伯克莱给流数起了一个富有诗意的名称——“逝去量的鬼魂”，并且指出，尽管流动量在计算过程中变成0，但后来它又回来了。要采用这样的方法，似乎必须借助信仰的力量，才能让人们接受一种无法想象的概念。伯克莱认为，那些批评宗教的人是表里不一的伪君子，因为他们的这个做法与宗教没有任何区别。无论这位主教是出于什么目的，我们已经知道，他提出的那个问题确实存在。的确，如果在运算过程中把那些无穷小量当作0来处理，流数术（也就是微积分）就是可行的，但这样的处理在数学上却是行不通的。
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伯克莱称，牛顿和莱布尼茨能得出正确答案纯属运气好，是两个错误相互抵消的结果。他说：“接连出现两个错误，反而歪打正着得出了正确答案，但这不是科学。”牛顿的辩解理由是，这些极小的变化量具有流动性，它们并没有彻底消失，而是处于逐渐消失的状态。在上例中，当2t+o变成2t时，牛顿可以说结果趋近2t，是因为o趋近0，但是这个无穷小量永远不会真正等于0。从数学的角度看，这个解释只能算语焉不详、理由不充分的权宜之计。直到19世纪，才有两位数学家为微积分堵上了这个漏洞，彻底解决了这个问题。
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19世纪20年代，奥古斯丁·路易·柯西重新定义了微积分中的无穷大和无穷小的概念，称它们是变量，意思是它们都趋近某个数值。随后，19世纪50年代，卡尔·魏尔斯特拉斯引入了极限的概念，这是我们今天仍使用的标准方法。有了极限的概念，我们就可以把某个终值确定为某个变量为无穷小时得到的极限值，条件是终值接近这个极限值的速度快于某个最低限度。魏尔斯特拉斯通过严格的证明告诉我们，只要接近极限值的速度足够快，微积分的方法就肯定有效。从某种意义上说，魏尔斯特拉斯在微积分计算的过程中抛弃了潜无穷的概念，而只要求接近极限值的（有穷）速度必须足够快。
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我们将在第12章详细讨论无穷大这个概念，但是现在，我们只需知道这个概念在现实世界非常难以理解，甚至不可能被人们理解，然而，它对数学却产生了深远的影响。这个概念使牛顿的力学世界成为现实，从而证明了它具有无与伦比的价值。尽管极限概念的确立意味着无穷大永远失去了用武之地，但是微积分利用无穷小和无穷大搭建出的神奇的数学世界，就这样悄无声息地潜入了现实世界。在尘埃落定之后，人们惊奇地发现它与现实世界的关系竟然十分和谐。
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微积分要求我们想象瞬间发生的情况，然而在极其短暂的瞬间，任何事似乎都不可能发生。古希腊哲学家芝诺提出的一个著名悖论——飞矢不动悖论，反映的就是这个问题。尽管下面的这个设想与飞矢不动悖论在文字表述上有所不同，但这是想象飞矢运动情况的最有效办法：我们可以想象一共有两支箭，一支飘浮在我们眼前的空中，静止不动，而另一支箭从弓弦上射出，闪电一般从第一支箭旁边飞过。
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假设在第二支箭与第一支箭并排的一瞬间，我们冻结时间，然后研究这两支箭。在那一刻，这两支箭似乎一模一样。一支箭在运动，另一支则没有运动，但两支箭都悬浮在空中。芝诺说，我们不能区分两者状态的不同，说明我们对运动和变化的理解是非常片面的。
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现在，我们知道这两支箭的物理属性在某些方面明显不同：那支运动的箭有惯性。尽管在时间静止的状态下我们无法感知这一点，但是惯性依然存在。此外，狭义相对论明确指出，物体在运动时，质量会变大。因此，如果古希腊人有能力，就可以比较两支箭的精确质量，从而区分它们的状态。
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飞矢的这个比喻不是很好理解，但它还是说明了微积分的一个特点。尽管给人一种比较奇怪的感觉，但是微积分及其在探索自然时的应用方式都建立在现实世界的基础之上。如果我们可以处理时间上的瞬时概念和空间位置上的无穷小变化的概念，微积分就是一种非常自然的数学方法。毕竟，它不是晦涩难懂的数学研究的产物，而是在不断拉近视野，研究世界上事物的运动情况的过程中获得的成果。
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从某种意义上说，微积分的研究对象正是牛顿的“机械宇宙观”。受到它的启发，拉普拉斯设想，如果我们掌握了足够多的信息，就可以根据过去预测未来。但在牛顿完成他的研究之前，已经有人埋下了种子，希望可以借助数学对未来进行不太确定的预测——基于机会和条件的预测。
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[1]皮埃尔–西蒙·拉普拉斯（1749—1827），法国天文学家、数学家，法国科学院院士，天体力学的主要奠基人。——译者注
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数学世界的探奇之旅 第10章 卡尔达诺：概率与“水晶球”
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统计学作为一门学科，它的历史可追溯至史前人们掰手指数山羊时。如果我把记录邻居每次借山羊数量的符木都保留下来，稍加比较，就可以发现邻居借山羊的习惯随着时间变化而有所波动。也许我能做的只是进行简单直接的比较，看看数量的变化，但是这种基本的统计工作仍然会让我乐此不疲。
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统计学（statistics）这个词与“国家”（state）源于同一个表达，这门学科在刚开始时只是指收集一个国家的相关数据，这与美国中央情报局的《世界各国概况》没什么两样。显然，这样的活动不会引起任何麻烦。但是，只要统计学继续存在，有一句名言就会如跗骨之疽，让它笼罩在阴影之中：“世界上有三种谎言，分别是谎言、讨厌至极的谎言和统计数字。”这显然是指责统计人员居心叵测，尽管他们可能以无辜的数学家自居。
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我们都不清楚，这句将谎言与统计数字相提并论的话到底是谁说的。通常认为，这句话出自英国前首相本杰明·迪斯累里之口。但是，这位擅长以诙谐幽默的语言讽刺他人的前首相却矢口否认，声称他说的这句话引自马克·吐温，但是人们在马克·吐温的作品中却找不到相关证据。也许是这位小说家造访英国时，随口跟这位政治家说的吧。
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然而，在刚开始的时候，统计学这门学科的确给人一种恐怖的感觉。第一位统计人员的统计对象是死亡人数，这位统计人员名叫约翰·格朗特，是一名纽扣制造商。尽管他从事的工作与数学无关，但是他对周围世界的运行规律颇感兴趣。格朗特想办法收集“死亡公报”以了解伦敦1604—1661年死亡人口的详细资料，还收集了出生人口数据，然后将这些数据汇集成册。他的目的是通过研究这些数字，了解伦敦底层人民的生活概况。
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在一定程度上看，他的工作就是收集散落于各种文件中的相关数据，然后将这些已有数据公布出来，这是人类有史以来第一次了解到不同年份瘟疫致死人数的情况。然而，仅仅整理这些已有的数据，并不能让格朗特感到满足。他还将数字加以整合，从而发现前人没有发现的信息。例如，他根据整合后的数据估算出伦敦的人口数量（当时还没有人口普查），并试图了解不同人群的预期寿命差异。
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正是这项预期寿命研究，再加上天文学家埃德蒙·哈雷后来所做的分析，直接催生了一个新的行业——保险业，这个行业主要针对的是人们在综合考虑统计数据与未来可能情况之后的不确定心理。当时，人们喜欢聚集在伦敦的咖啡屋里谈生意。这种把赌注押在未来结果上的行业就始于这些熙熙攘攘的人群，随后，借助当时最全面的统计数据，迅速向世界各地蔓延，成了每个人都要打交道的一个行业。
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尽管遭到了迪斯累里的鄙视，但是统计学作为一门独立的学科，发展的态势似乎一帆风顺。当统计学与概率（研究可能性的数学分支）相遇之后，更是迸发出耀眼的火花。在此之前，数学在它与现实世界之间的关系中一直处于从属地位，它诚实地展示当前的状况或者解释已经发生的事。但是，统计学这个全新的数学分支却在社会底层人民的支持下，大言不惭地预测起未来，而且它的预测结果与牛顿的“机械宇宙观”不同，充满了不确定性和风险。于是，数学描述周围世界的能力取得了重大突破，并把触角伸至尚未发生的未来。最终，概率和统计学的重要性与日俱增，被用来描述包括气体特性、神秘量子在内的所有事物。我们将在第13章深入讨论这方面的内容。
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要想在蓬勃发展的保险业叱咤风云，仅掌握足够多的数据是不够的，还必须把这些数据变成“水晶球”（格朗特已经证明，这是有可能的），才能用它们预测未来。所谓水晶球，是指那些社会底层人民的生活习惯，而不只是那些纽扣制造商的各种癖好。这是一个赌徒的世界。仔细想想，保险业就像一个赌场：它披着行业的外衣，希望可以通过赌局保持不断前进的态势，“玩家”虽然有赚钱的可能性，但在大多数情况下，他们投入的钱都变成了保险公司的利润。