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数学世界的探奇之旅 [:1701011753]
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数学世界的探奇之旅 第11章 麦克斯韦：关于电磁波的数学方程组
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几年前，我在伦敦的英国皇家研究院（RI）参加过一次辩论会。辩论会的主题很有意思——谁是历史上的第一位科学家。4个人选都不出意外地在本书中占有一席之地。在辩论过程中，阿基米德和罗吉尔·培根（由我提名）的早期成果在伽利略面前相形见绌，后者凭借现代科学成就最终胜出。但是，研究院常驻科学史学家提名的候选人却是比伽利略在历史上出现的时间晚得多的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦。
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麦克斯韦角逐这个头衔有一个不是很公平的理由——“科学家”这个词在他那个时代才正式出现。在那之前，人们普遍使用的是一个拗口的名称——“自然哲学家”。1834年，人们认为，既然从事艺术工作的人被称作艺术家（artist），那么把从事科学研究的人称作科学家（scientist）似乎是合情合理的。（当时，他们提出了几个备选方案，值得庆幸的是，他们最终没有选择“博学之士”这个词。）但是，在那次辩论会上，人们支持麦克斯韦的理由却更加微妙：麦克斯韦是科学领域中让数学彻底摆脱现实的束缚，并在他提出的理论中有所体现的第一人。
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当然，麦克斯韦不是第一个使用数学工具的科学家。我们知道，牛顿早已用他的数学知识构造出一个蔚为壮观的科学魔法世界。麦克斯韦在电磁学领域取得的研究成果虽然与光的本质有关，但是与数学的联系更加紧密。最终版本的麦克斯韦方程组浑然天成，充满美感，完全摆脱了与物理现实的联系，是直接源自数学公式的产物。同时，它也开启了离经叛道的痛苦历程。牛顿处心积虑地为自己的基础数学罩上了一层晦涩难懂的外衣，一旦脱下这层外衣，我们就会发现它特别简单。但是，漫不经心的观察者是无法理解麦克斯韦的研究成果的，他们唯一的选择就是毫不犹豫地接受它。这一点对于科学本身，对于帮助科学赢得社会支持，都具有非常深远的意义。
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如果你从未听说过麦克斯韦，也不会令人感到特别奇怪。如果在科学家当中做一次问卷调查，请他们提供三个名字：历史上最伟大的物理学家、有史以来最受他们喜爱的物理学家和最被普通大众低估的物理学家，结果一定非常有意思。艾萨克·牛顿和阿尔伯特·爱因斯坦的名字肯定会出现在第一个名单中，理查德·费曼应该可以轻松地在第二个名单上名列前茅，而詹姆斯·克拉克·麦克斯韦则很有可能成功当选最被普通大众低估的物理学家。值得注意的是，爱因斯坦的书房墙壁上挂着三个人的照片：牛顿、法拉第和麦克斯韦。
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介绍麦克斯韦生平的科普读物非常多，但是我认为仍然有必要告诉你们他这个不同寻常的姓名是怎么来的。麦克斯韦的父亲本来名叫约翰·克拉克，但是约翰的父亲继承了克拉克家族麦克斯韦系的庄园和头衔。约翰的父亲死后，约翰的哥哥又继承了这个头衔和位于米德尔比的主体庄园，约翰则继承了位于哥伦莱尔的子庄园，并且从此以后，他在姓名中添加了“麦克斯韦”，以强调这种关系。因此，詹姆斯出生后，他的姓就是克拉克·麦克斯韦，简写为麦克斯韦。
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由于家境殷实，麦克斯韦从小就自由自在，而且有机会深入探索附近村庄的自然史。他后来进入爱丁堡大学，攻读物理学学士学位，之后又进入著名的剑桥大学。毕业后，他先后在剑桥大学、阿伯丁大学和伦敦大学国王学院任职。接着，他离开大学校园，回到哥伦莱尔庄园，潜心做研究。这种没有压力的生活让他感觉十分惬意。直到剑桥大学成立卡文迪什实验室（在这个新实验室的推动下，剑桥大学一举抢占了当代物理学研究的核心地位），冲着第一个卡文迪什教授的头衔，麦克斯韦才又回到剑桥大学，继续他的学术生涯。
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在这段时间里，麦克斯韦的研究涉及诸多领域，主要包括运用统计工具从事热力学研究、利用偏振光检测透明材料的应变、探索颜色感知的本质，他甚至还拍摄出有史以来的第一张彩色照片。但是，他留给我们的最有价值的遗产是电磁学。麦克斯韦的前辈、电磁学大师迈克尔·法拉第在思考电磁学领域的各种现象时，曾经提出一个开创性的设想：电与磁会形成一种场。他提出的场概念与等高线图比较相似，相当于整个空间遍布了等高线，等高线的值表示电磁强度。如果一条导线穿过磁场的等高线，就会与磁场发生相互作用，进而产生电流。
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法拉第毫无疑问是一位想象力丰富的科学家，但是他没有接受过专门的数学训练，在研究中几乎不会使用数学工具。也有一些科学家曾经用数字来表示电磁感应，但是，就像牛顿对万有引力的理解一样，他们也认为电磁力是一种间接的“超距力”。麦克斯韦无疑是第一个认识到法拉第的场概念的重要意义的人，并且他开始运用数学工具来研究电磁场的概念。从此以后，人类对电与磁的研究发生了翻天覆地的变化。
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由于电磁场在三维空间中能无限延伸，在建立数学模型时需要计算空间各点电磁感应的总和。要解决这个数学问题很容易，牛顿与莱布尼茨的微积分恰好可以做到（尽管很少用于三维空间）。但是，麦克斯韦还需要在此基础上再向前一步。按照法拉第的理解，在电和磁形成的“力场”空间中，每个点的值就是磁体或者电荷产生的作用力。与质量是标量（仅有数量大小）不同，力是矢量，不仅有大小，而且有方向。质量一成不变，而力则必须有确定的作用方向。矢量是由两个数量综合而成的双重数值，在表示力时，它不仅描述了力的大小，还说明了力的作用方向。
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在麦克斯韦潜心钻研电磁学的时候，人们刚刚发现了与矢量相对应的数学工具。发明这个工具显而易见很有必要，因为在处理一个矢量时，我们肯定不能把它视为一个简单的数字。比如，两个矢量相加，与其说是代数运算，不如说是几何操作。计算两个矢量之和的最简单方法就是画两个箭头，用箭头的长度表示矢量（例如力）的大小，用箭头的方向表示矢量的作用方向。我们先画一个箭头表示第一个矢量，然后以这个箭头的头部为起始点，画出第二个箭头。从第一个箭头的起始点至第二个箭头的头部画出第三个箭头，这个箭头就是两个矢量的和。但是，麦克斯韦需要解决的问题不只是计算两个不变量的和。在开始研究电磁学之后，他还必须尝试利用向量微积分，计算出空间各点因位置不同而变化不定的矢量。
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当时，人们用力学世界观研究世间万物，麦克斯韦刚开始的时候也没有彻底放弃这个工具。他考虑过将电磁力（电与磁的综合体）看作并不存在的多孔固体中的流体，用流体代表电磁力的力线。同所有优秀的模型一样，他的这个想法不仅与建模时观察到的各项数值相互吻合，而且用模型做出的一些预测也得到了证实，其中包括电磁力的强度与距离的平方成反比。
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麦克斯韦的“渗流”模型是一个非常有用的工具，但是它的作用也仅限于此。重要的是，代表力线的流体被固定在固体内部的通道中，但是在绝大多数情况下，例如，在越来越受欢迎的法拉第电动机和发电机中，力线并不是静止不动的。要表示这种情况，麦克斯韦必须彻底改变自己的模型，但他暂时无能为力，原因之一就是他在这前后收拾行李搬到了伦敦。5年之后，他才开始考虑这个问题。
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在这种情况下，平庸的科学家很可能会修改自己的模型，以适应运动的电磁力。但是高明的科学家在意识到错误时，即使他们在这条道路上已经投入大量的时间和精力，他们也会当机立断，另辟蹊径。麦克斯韦果断地放弃了他的流体模型（即使是现在，运动的流体也是最难处理的物理学问题之一，很难得到精确的结果），转而到更熟悉的力学领域中寻求答案。他首先对磁体进行了研究，发现他的模型需要添加磁力线，而且磁力线上应该有朝着某个方向的应力（与异性磁极之间的吸引力相对应）和垂直压力（与同性磁极之间的排斥力相对应）。
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他设想，磁体可能是由一系列可以自由旋转的微小电池构成的。地球等实体旋转时，在旋转力的作用下，赤道附近的地方会凸起，两极则会稍扁。与此同时，地球内部的微小电池也会发生同样的变化。如果一系列电池的旋转轴相同，在这些电池被压扁的时候就会在沿着旋转轴的方向上产生应力，而在微小电池凸起的地方就会产生向外的垂直压力。这种效应与他的电磁场模型正好一致。
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至此，他的模型没有任何问题，但是在实际操作时，这些微小电池常常因为相互作用而僵持不下。原来，麦克斯韦忽略了电荷的影响作用。为了解决这个问题，他设想每个电池周围都有一些很小的球体，就像安装在转轴周围用来减小摩擦力的滚珠轴承一样。微小电池只能在固定位置旋转，而那些小球体却像电流一样，可以在原材料中穿行。尽管麦克斯韦的这个模型十分简陋，但令人吃惊的是，它与金属由原子构成、电子从原子中间穿行的结构非常接近。直到多年之后，人们才发现原子存在的证据（又过了更长时间才知道电子的存在）。
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此时，麦克斯韦的模型已经可以解释某些电磁现象了，但是它无法解释电磁感应——这个物理现象对于变压器具有非常重要的意义。一条电线中的电流发生变化，为什么会导致另一条电线产生浪涌电流呢？法拉第正确地推断出电流在接通和断开时会产生磁场，而磁场可以通过另一条电线扩展、收缩，进而产生电流。麦克斯韦利用他的微小电池（此时他已经把这些电池改成六面体了）和小球体，成功地模拟了这个变化过程。为了模拟电磁感应现象，他对模型做了一些改进。当小球体从微小电池周围流过时，不同层次的电池会做出不同的反应，同时会对小球体的运动施加阻力，使这些小球体的速度逐渐减慢。
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做了这些改进之后，他的模型已经比较完美了，唯一的缺陷就是不能很好地表现电荷之间的相互作用。梳理过干燥头发的梳子带有电荷，可以吸住碎纸屑，原因就在于电荷的相互作用。同很多前辈一样，麦克斯韦也发现遇到问题时暂且放一放，反而更容易找到解决办法。
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他想到，纸、瓷器等绝缘体内部的小球体被固定在微小电池上，不能像金属内部的小球体那样自由流动。他又想到，如果绝缘体的微小电池具有弹性（在固定位置上可以发生扭曲），这些电池就可以像弹簧一样，通过扭曲将能量暂时储存起来。与之相比，金属的微小电池是刚性的，几乎不会发生扭曲。这个想法不仅说得通，它还可以高度精确地模拟真实材料的特性，从而帮助我们了解电磁力的真实属性。根据这个模型，静电力与弹簧的势能非常相似，磁力则更像转动能，而且两者一定会产生相互作用，不可能独自出现。所有问题似乎都得到了妥善解决。但是，就在此时，麦克斯韦却发现了一个足以让整个模型变得一文不值的大问题。
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法拉第场被认为无处不在，甚至存在于真空中。由于空间具有极强的绝缘性，因此，根据他的模型，空间应该包含弹性电池。弹性物体的一个特点是它可以传递波。事实上，弹性是波传播的必备条件。由此可见，电磁波似乎可以在真空中穿行。此外，弹性电池的扭曲会产生磁场，磁场又会拉扯邻近的小球体，进而形成电场。麦克斯韦认为，真空中应该有一个包含电波和磁波的自持波，其中电波和磁波彼此垂直，而且都与自持波的传播方向垂直。同时，电波会产生磁波，磁波又会产生电波，循环往复。
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当时，人们已经确认光是一种独特的波，在介质中传播时会发生左右摆动。（通常，只有在介质边缘传播时，波才会左右摆动。）人们还通过实验发现，光与磁之间似乎存在某种联系。麦克斯韦在想，根据他的模型，光就是一种电磁波，这个近乎荒谬的结论到底是不是真的呢？毕竟，光可以毫不费力地穿透真空，从太阳传播到地球。随后，麦克斯韦对这种假设的波的传播速度进行了估算，结果发现它与光在真空中的传播速度非常接近。这个发现进一步展现了这个模型的惊人效力。
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毫无疑问，麦克斯韦在数学工具的使用方面远远超过他的前辈，这也是他当时最令人瞩目的成就。但是，在对气体黏滞性进行了初步研究之后，他又一次放弃了自己建立的模型，然后重新开始研究电磁学。这一次，他没有使用流体、旋转式弹性电池等类比模型，而是采用了现代物理学家都非常熟悉的方法，即建立纯粹的没有掺杂其他任何内容的数学模型。
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虽然他使用的仍然是建立模型的方法，但这个模型仅仅是一些表现一系列逻辑法则的数字。模型中没有图，没有类比，也无法让人们轻松掌握其中的原理。麦克斯韦使用的是18世纪意大利数学家约瑟夫–路易斯·拉格朗日发明的方法——拉格朗日函数。借助拉格朗日函数，人们可以通过微分方程组，以及系统各部分的动量、系统动能等要素，描述系统随时间的变化而发生变化的情况。
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