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拉格朗日函数就像一个黑箱（在数学家的眼中极具简洁雅致的美感），只需输入已知因素，摇动把手，就能得到答案。使用者根本不需要深入了解系统的物理属性，因为建模时使用的全部是数字。
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为了满足电磁学的特殊要求，麦克斯韦进行了一番复杂的改进，把拉格朗日的研究成果变成了一个比较简单的方程组，用来描述电与磁的特性。麦克斯韦的后辈们利用现代符号表示法，对麦克斯韦方程组进行了完善和精简，最后得到了4个令人惊叹的简短方程：
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对于现代物理学家而言，这些方程简单明了、司空见惯（然而大多数人却会惊叹于它们的复杂程度）。但是，在麦克斯韦提出这些方程组时，大多数科学家都觉得，单凭数学工具就构建出这个模型，实在是一件不可思议的事情。如此彻底地摆脱对现实世界的依赖，是很多人努力追求的目标，其中包括与麦克斯韦同时代的杰出人才、在更年轻时就已成为物理学教授的威廉·汤姆森（即开尔文勋爵）。由于没有人亲眼见过电磁波，因此人们对这个模型的反响并不强烈。但是，这套理论认为，只需让电荷沿着一片金属（现在的人称之为天线）运动，就可能产生电磁波。直到20年后，海因里希·赫兹用这种方法首次生成无线电波，麦克斯韦的这项突出成就才真正得到人们的普遍认可。
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尽管麦克斯韦可以借助数学工具完成他的研究，但在当时，就连他本人也不相信由这些公式得出的所有推论。他喜欢借助数学工具建立模型，但是他认为那些数字不可能直接反映现实世界的本质。麦克斯韦曾经两次无视这些数字给他的提示：一次是他在提出一个假说时没有考虑这些数字；另一次是他直接忽略了这些方程给出的某个预测结果，原因是这个结果太奇怪了。
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那个假说与以太有关。麦克斯韦的电磁波理论成立的前提条件是，真空有容留电磁场的能力，因为电磁波离不开电磁场。波的传播不需要任何介质。如果真的存在类似于普通物理材料的介质，这些波就会显得特别奇怪，因为介质会抑制波的左右振动，导致横波无法从介质中间穿过。通常，这样的波都在介质边缘传播（例如，在水面上或者在小提琴琴弦上）。能从介质中间穿过（例如声音在空气中传播）的波往往是压缩波，也就是波的振动方向与传播方向一致。
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尽管麦克斯韦的模型明确地告诉他，光从恒星发出后，无须以太也能在真空中穿行，但他仍然坚信以太肯定存在。优秀的科学家几乎都兼具叛逆者和传统主义者的双重特点，他们肩负着破旧立新的使命，但是他们又不可能推翻一切、从头开始。他们必须依赖某些现存的观念，但是这些观念往往已经存在很长时间，以致失去了继续存在的意义。以太就是一个这样的概念。有趣的是，包括诺贝尔奖得主弗兰克·韦尔切克在内的一些现代物理学家认为，以太从一定意义上讲仍然是存在的，但是我们需要换一个思路，把数学意义上充斥整个空间的各种场（例如电磁场）视为以太。
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麦克斯韦忽略的那个预测极具震撼性，令人震惊的程度远胜过以太是否存在这一问题。这个预测表明，一定存在可以回到过去的波。为了说明这个问题，我们有必要先花点儿时间，思考一个非常简单的数学问题。在下面这个方程中，x的值是多少呢？
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x2= 4
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即使“代数学”这个词令你惊恐万分、深恶痛绝，解这样的方程你肯定也会胸有成竹。我们的任务就是找到平方为4的x的值。不难发现，2是满足条件的答案。但是，如果在学校考试中解这个方程，回答2只能得到一半的分数，因为答案不止一个。x等于–2时方程同样成立。也就是说，这个方程有2和–2两个解。
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某些方程（例如二次方程，上面这个方程就是一个简单的二次方程）经常会出现有两个解的情况。麦克斯韦方程组在预测电磁波这种自持波存在的可能性时，同样遭遇了这种情况。这些方程的解不是一个，而是两个，并分别被称作“延迟波”和“超前波”。根据这些方程，当我们熟悉的电磁波（包括无线电、X射线、伽马射线在内的所有光）从A传播至B时，这些波都是延迟波。但是，这些方程还描述了第二种波，即从B传播至A的超前波。在延迟波到达B的那一瞬间，超前波从B出发并逆时传播，在延迟波离开A的瞬间到达A。
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这个预测显然面临两大难题。难题之一是，任何人都没有见过超前波。如果超前波真的存在，那么它们似乎可以完成时光倒流这种不可能实现的壮举。尽管数学上没有给出任何提示，告诉人们应该只保留其中一个解，忽略另外一个解，但是大家都这样做了，因为他们认为那个解非常奇怪，不应加以考虑。数学工具似乎给出了一个与现实世界格格不入的预测结果，但是，由于这些方程式完美地描述了电与磁的其他特点，所以人们无法弃之不用。
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直到20世纪40年代，美国的两名物理学家约翰·惠勒和理查德·费曼才发现超前波不仅是这些方程的一个预测结果，它还可以在物理学领域发挥重要作用。尽管科学的发展在一定程度上需要科学家解放思想，但是既有的科学理论对大多数科学家的阻碍作用仍然十分明显。然而，惠勒和费曼都十分开明，不会被常识遮住双眼。
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为了解释光与物质之间的相互作用，费曼等人创立了量子电动力学（QED）这个物理学分支，而走在时间前面的超前波将帮助他们解决一个问题。量子电动力学常常会引出数学意义上的无穷大概念（参见第12章），这个缺点不仅会影响量子电动力学的发展，还会给量子色动力学等现代理论惹来麻烦。当惠勒和费曼提出他们的大胆想法时，量子电动力学面临的电子反冲问题就属于这一类型的麻烦。如果原子中电子的能量降低并释放出一个光子，这个电子就会发生反冲，这与枪支发射子弹的情形十分相似（光子没有质量，但是它们有动量，而动量一定是守恒的）。
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要让电子发生反冲，电子的电场必须作用于电子自身，因此它们实际上构成了一个反馈回路，而且会导致无穷大的结果。但是，当时的人已经知道电子会不停地释放光子，我们看到的光大多就是这样产生的。惠勒和费曼发现，如果每次产生的光子不止一个，而是两个，而且其中一个是逆时运动的超前光子，在解释反冲问题时就不会导致无穷大这种令人无法解释的结果了。
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毫无疑问，惠勒和费曼的研究得出了一个有用的结果，但是人们一直认为这是一种效果不错的数学魔术，对于揭示现实世界的本质没有任何启示作用。当然，使用过这个研究方法的人大多（不包含惠勒和费曼）不认为物质世界中真的存在超前波和超前光子，但是这个例子再次说明数字可以产生与实际观察相匹配的结果（尽管本例中的这个结果有点儿出乎人们的意料）。常识告诉我们，波不可能进行逆时传播，但是数学工具却告诉我们相反的预测结果。事实证明，数学工具做出的稀奇古怪的预测，与更加直接的研究方法相比，其反映现实的效果更好。
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对于现代数学界而言，无论我们怎么理解麦克斯韦方程组的解，这些方程都没有多大的难度，尽管当初提出这些方程的人是一个天才。然而，正如与麦克斯韦同时代的格奥尔格·康托尔发现的那样，即使是专业的数学人员，也会遇到解决不了的难题。
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数学世界的探奇之旅 [:1701011754]
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数学世界的探奇之旅 第12章 康托尔：让一众科学家挠头的无穷大
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无穷大这个概念一直令人耿耿于怀，其实并不奇怪。从古希腊时期开始，人们就开始思考无穷大是否存在、本质是什么的问题。古希腊人肯定知道，用于计数的正整数序列没有尽头。如果真的有最大的整数（我们用max来表示这个数），就必然有max+ 1、max+ 2等更大的数。但是，无穷大概念让古希腊人很不舒服，他们用来表示这个概念的“阿派朗”（apeiron）一词就有混乱的含义。
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哲学家亚里士多德就曾对这个概念进行过研究，他的观点在随后几百年时间里一直占据主导地位。公元前384年，亚里士多德出生于希腊北部。他认为，无穷大具有必然性，但是又无法达到。他从世间万物中找到了一些他认为属于无穷的例子，例如，他认为整数（我们已经知道整数是无穷的）和时间就是无穷的。此外，他还认为有的东西是无限可分的。但是，与此同时，他又提出了几个含混不清的观点，想证明无穷大不可能存在于现实世界中。例如，他说任何物体都有边界，如果某个物体是无穷大的，它就不可能有边界，也就不可能存在。
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在明显经过一番艰苦的心理斗争之后，亚里士多德最终断定无穷大不是一种存在于现实世界的概念，而是一种潜在的可能性，在现实中永远无法实现。无穷大是存在的，但是不能根据需要变为现实。他以古代奥运会比赛为例，简单明了地介绍了自己的这个想法。比赛毫无疑问是存在的，肯定不是一个虚构的概念。但是，一般而言，如果有人请你把奥运会比赛展示给他看，你肯定做不到。因此，奥运会比赛就是一个潜在的实体，你没有办法仔细端详，小心鉴别。亚里士多德小心翼翼地指出，尽管某些潜在实体在特定时间或特定空间里会变成现实，但是无穷大不包括在内。
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