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这就令人感到迷惑不解了（辛普利西奥对此感觉尤为奇怪）。伽利略借萨尔维亚蒂的口说，这是因为小车轮完成了无穷多个幅度无穷小的跳跃，这些跳跃的总长度，正好弥补了小车轮移动距离上的不足。萨尔维亚蒂一面满怀愧疚地承认这个事实令人震惊，一面又请求不妨放下该书当前讨论的内容，转而对无穷大这个概念加以研究。另外两个人也高兴地同意了他的请求。
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他们先举了一个晦涩难懂的例子，并用几何方法证明了点的集合与圆的圆周有可能大小相同，然后又回过头来继续讨论这些车轮。辛普利西奥发现，第一个例子似乎包含两个无穷大：大车轮周长的1/6是由无穷多个点构成的，小车轮周长的1/6也是由无穷多个点构成的。这两个数都是无穷大，但是一个无穷大对应的结果却大于另一个。萨尔维亚蒂先是敷衍搪塞，说从有穷的角度去理解无穷的概念，就会导致这个问题，但紧接着他又试图向辛普利西奥证明，这是无穷大的内在属性造成的一种奇怪现象。
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他的证明使用了正整数（即自然数）的平方数这个概念。萨尔维亚蒂说，每个自然数都对应一个平方数。辛普利西奥欣然同意这个说法。接着，萨尔维亚蒂又问他，自然数有无穷多个，而且每个自然数都对应一个平方数，那么这些平方数的个数是不是等于正整数的个数呢？答案显然是肯定的。但是，正整数中还有很多数本身并不是平方数，例如2、3、5、6、7等。也就是说，每个平方数都会对应一个自然数，而自然数的个数远多于平方数。
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伽利略通过这番讨论明确地告诉我们，传统的运算法则不适用于处理实无穷。此时，“相等”、“小于”、“大于”等概念也会失去它们的传统含义。我们可以说一个无穷集（例如正整数集）可能包含无穷子集（例如平方数集）。伽利略笔下的这三个人之所以遭遇麻烦，原因之一就是他们把无穷大看作一个数字（伽利略就是这样想的）。我们现在不会把无穷大看作一个数字。我们可以说某些事物构成了一个无穷集，但不会说这是一个无穷大的数字。如果伽利略晚出生200年，就会明白其中的道理。
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在伽利略之后，所有人都把眼光投向了更容易让人接受的潜无穷概念。直到19世纪，格奥尔格·康托尔决心揭开其中的真相，才改变了这种状况。康托尔是一名数学家，但是由于他坚信无穷大是一种真实的存在，再加上其他数学家都认为他是在引火烧身，所以，不仅他的职业生涯充满了艰辛，他的精神世界最终也轰然倒塌。康托尔认为，数学和数学家都可以接受无穷大真实存在这个赤裸裸的事实。他试图证明有比无穷大还大的存在。这项似乎根本不可能取得成功的研究，在现实世界中没有明显的实用价值，但康托尔取得的成就并不只是这些。
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康托尔还是集合论的创立人，集合论似乎可以解释数学的作用原理。要感受康托尔在无穷大研究领域中表现出来的杰出天赋，我们有必要对集合论稍加了解。在本书第1章，我提到了数字到底是什么以及它们与周围世界存在什么关系的问题。集合论对数字进行了形式上的定义，而且这个定义显然是以现实为基础的，但它又摆脱了现实的束缚，卓尔不群地屹立在柏拉图洞穴外面的数学世界之中。集合论对于数学的意义就相当于原子论对于科学的意义。我们曾经懵懂无知地生活了几千年，但是在接受了原子的存在之后，我们就认同它们是构成自然界的基本单位。同样，在几千年的时间里，数学研究并没有因为集合论的缺失而令我们感到任何不适。但是，集合论问世后就立刻变成一切数学研究的基础。
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所谓集合，是指一系列具体事物或者抽象概念。这些事物或者概念都有一个共同的特点（例如一组名叫“布赖恩”的事物或者一组看上去像甜甜圈的事物），或者是基于地点或时间建立起某种联系的随机组合（例如纽约人行道上的所有事物，或者你今天上午想起来的事情）。集合论的某些表达还进入了人们的日常用语。“子集”是指在一个集合中拥有另外某个共同特点的所有元素的集合，是包含在一个大集合中的集合。例如，“美国人”这个集合是“人”这个大集合的一个子集。集合中的各项称作该集合的元素，也就是说，只要你不是智能机器，你就是“人”这个集合中的一个元素。
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大家可能见过用维恩图这种直观的方法表示的集合。用维恩图来表示集合的相交与合并，这是很容易理解的。例如，我们可以用下图表示“人”与“在纽约生活的生物”这两个集合（除了人以外，后者还包含很多其他元素）相交的情况，其中重叠的部分代表“在纽约生活的人”。
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使用搜索引擎时，我们经常会不自觉地使用各种集合。借助“与”“或”“非”等布尔代数术语，我们可以进行集合的合并或者选择。例如，如果你使用下面这个搜索项在网上搜索图片：
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（车与美国）（福特或雪佛兰）（非红色）
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那么你搜索的就是一个子集：美国车，品牌为福特或雪佛兰，除红色以外的其他颜色。至少以前的搜索引擎是这样工作的。现在的搜索引擎（例如谷歌、必应等）都自视甚高，因此大多不屑于使用这些布尔代数术语。
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在处理集合时，数字有两种截然不同的用法，使用时一定要注意区分。本书中使用的1、2、3等数字都是“基数”，这是自然数的主要用法。但是，我们也可以利用数字来规定各子集在集合中所处的位置，此时这些数字叫作“序数”。例如，在考虑橙子集合时，数字3可以指集合中橙子的数量，也可以指集合中的第三个橙子（“3号橙子”）。
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我们往往认为序数是数字的一个有用但不怎么重要的用法，但一些人类学家指出，序数的出现早于基数。如果情况属实，我们在第2章里介绍的数山羊活动就应该是另外一种意义了。这些人类学家认为，计数首先不是出现在像贸易这样平淡的事件之中，而是出现在宗教仪式之中，因为宗教仪式中的重要事物必须以正确的次序出现。也就是说，表示次序的数字出现在表示物体数量的数字之前。这些人类学家并没有找到有说服力的证据，而且人们有足够的理由认为，这些人类学家提出这个观点的目的可能是试图说明他们的人生观远比会计人员的人生观更重要。当然，有序计数有可能出现得更早，尽管我们看不出它比掰手指数山羊的方法更有优越性。
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描述集合的大小（也称集合的势）非常有用，无论这些集合的大小是否可以表示成数值的形式，我们都可以通过势来比较大小。如果我们设想将两个集合并排，让两个集合的元素结成对，并且形成一一对应的关系（一个集合中的每个元素都能在另一个集合中找到唯一一个与之对应的元素），那么无论我们是否知道这些集合的大小，我们都可以说这两个集合等势。在研究无穷大的概念时，上面说的形成一一对应的关系将发挥非常重要的作用。
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如何利用势来比较集合的大小呢？我们可以想象有两个集合，一个是指南针方向构成的集合，另一个是季节集合。我们可以让北与冬季、东与春季、南与夏季、西与秋季分别配对。这样，我们将所有方向和季节都包括进来，而且一个集合中的元素分别与另一个集合中的元素构成一一对应关系。因此，即使我们不知道一共有多少个不同的季节，也不知道有多少个不同的方向，我们也可以说这两个集合等势。事实上，在这个例子中，我们知道集合的元素数量是4。但是，重要的是我们无须知道这个数字。只要可以重复这个一一对应的程序，我们就会知道这两个集合等势。
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请大家回想一下令辛普利西奥感到困惑的那个奇怪的现象。每个自然数都可以与一个平方数配对，因此我们知道，自然数集与平方数集等势。但是，我们还知道平方数构成了自然数集的一个子集。后来，康托尔发现，无穷集一定包含一个与自身等势的子集。
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在康托尔开始研究集合之前，意大利数学家朱塞佩·佩亚诺就已经利用集合来定义自然数了。在第2章，我们根据真实物体建立了数字系统，尽管最初是从数山羊开始的，但是这套数字系统最后可以应用于所有物体。佩亚诺摆脱了真实物体，单独考虑这些数字，使它们可以仅凭集合的本质而独立存在。这个方法在早期数学中无法采用的原因之一是，它必须建立在“无”（0的化身）这个基本概念的基础上。具体来说，这个方法的起始点是空集，即不包含任何元素的集合，这为数字0的产生奠定了基础。
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第二个集合只包含一个元素——前面定义的那个空集。通过这个方法，佩亚诺得到了基数1。接着，他又创建了一个集合，将前面的那个集合包含其中。也就是说，这个集合包含两个集合：空集和包含空集的那个集合。这样，他又得到了基数2。以此类推，只凭一个个集合，我们就像俄罗斯套娃那样，搭建出“自然数”的完整集合（包括0和正整数）。
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物理学家罗杰·彭罗斯认为，既然可以用这种方法定义数字，就说明：“只需发挥想象力，这些数字就会栩栩如生地出现在我们的脑海里，我们可以充满信心地使用它们，而不需要考虑物质世界的任何属性。”然而，我认为这个理由包含了不可靠的诡辩术成分。毫无疑问，我们无法仅凭想象力就让自然数“出现”在我们的脑海里，或者说我们无法完全脱离具体物体，凭空想象出这些数字。
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而且，所谓集合，就是一系列实体。要建立集合的概念，首先必须有这些实体存在。如果现实世界中没有可以计数的物体，很难想象我们会产生集合的概念。比如，我们假设世界上存在一种有思维能力的生物，它既没有具体形状，又与物质世界没有联系。既然这个生物除了自己的存在以外，得不到任何其他体验，那么它怎么能像我们一样感知到周围世界的多样性呢？它又怎么可能产生自然数、集合等概念呢？
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佩亚诺和康托尔借助集合论，使算术脱离了数山羊的现实活动，为数学中的数字奠定了理论基础。从某种意义上看，这个抽象化过程帮助数字摆脱了计数作用，直达数字的本质，因此具有非常显著的意义。但是，这个变化过程也使某些数学家感到不安（时至今日，他们仍然不能释怀），这是因为集合论的核心理论包含一个令人不安的悖论。第一个指出集合论面临这种困境的人是英国哲学家、数学家伯特兰·罗素。
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佩亚诺通过创建以其他集合作为自身元素的集合，推导出了自然数。与之相似，罗素研究的是另一种包含子集的集合，具体地说，他是从集合是不是自身的元素这个角度展开研究的。这个说法似乎会导致棘手的递归问题，但是，通过具体实例，我们就可以洞见其中的奥秘。例如，我们考虑“狗”这个集合。与这个集合对立的是一个更大的集合——“除了狗以外的所有事物”。假设我们认为“所有事物”不仅仅包含具体事物，那么“除了狗以外的所有事物”就是它自身的一个元素，因为它是一个非狗集合。同理可知，“狗”这个集合不是它自身的元素。
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接下来，罗素提出了一个新颖的问题：考察“不是自身元素的所有集合”这个集合。这个集合包含“狗”这个集合，但是不包含“除了狗以外的所有事物”这个集合。我们把这个新的集合称作“非元素”集合。罗素问道：“非元素”集合是不是它自身的一个元素？