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至此，我们的大脑很可能已经陷入困境而难以自拔了，当年的罗素就遇到了同样的麻烦。如果“非元素”集合是自身的一个元素，那么根据定义，它就不是自身的一个元素，因为这个集合就是这样定义的。同样，如果“非元素”集合不是自身的一个元素，那么它应该是自身的一个元素。从逻辑上讲，“我说的这句话是谎言”这句话与“非元素”集合有相同的效果，都会导致自相矛盾的结果。事实上，罗素要告诉我们的是，集合论有一个固有的内在矛盾，这是数学家无法容忍的。但是，集合论仍然是数字本质和简单算术的基础。
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我们将在下文继续讨论罗素发现的集合论问题，但是现在我们先花点儿时间，看一看康托尔的研究，了解无穷集合的定义。如果将佩亚诺构建自然数的方法发挥到极致，就会得到一个无穷集合。这与用双纽线符号表示的潜无穷有所不同，因此康托尔发明了一个新的符号——，它是由希伯来文的第一个字母与0构成的，表示这是最简单的无穷集。我们熟悉的那些运算法则对于这个集合是无效的，这与我们对无穷大的理解是一致的，伽利略那部著作中的辛普利西奥也发现了这个问题。例如，从集合的本质我们可以得到下面这些运算法则：
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利用集合论，我们可以毫不费力地解决让伽利略头疼不已的那个平方数与正整数的难题。我们知道，可以根据两个集合中的元素是否可以构成一一对应的关系来判断它们是否等势。在解决平方数和正整数的这个难题时，我们同样可以利用这个方法，将它们一一配对，即每个平方数对应一个正整数。由于我们可以完成这个步骤，说明这两个集合是等势的，都是。因此，无穷集与自身的一个子集等势的奇怪现象就可以解释了。我们在指南针指针方向与季节的例子中已经发现，无须知道集合有多少个元素，也可以确定它们是否等势。
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如果我们根据自己在周围世界中获得的体验来理解数学过程，就会导致这样的问题。我们难以理解无穷集的性质，是因为我们以为它们具有与有穷数字（尤其是现实世界中数量有限的物体）相类似的特点。然而，尽管集合可以帮助我们理解数字的含义，但是集合不是数字，而是一种数学建构。只有清楚地理解集合是一种截然不同的实体（它与数字的关系可以帮助我们理解数字），我们才能正确理解无穷集的奇怪特性。
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在集合论的帮助下，康托尔成功地定义了自然数的无穷性，即。我们也许会认为，集合论对无穷大的研究已经到了极致。但是，作为数学家，康托尔绝不愿意不加深究就轻信任何结论，这也是他在“”后面附上一个0的初衷。这只是最简单的无穷，但是他还没有证明，包含整数在内的所有数字构成的集合，是否也与之等势。因此，康托尔决定继续研究下去。这一次，他使用的是非常简单易懂的数学证明。现代数学证明往往包含一页又一页的方程式。20世纪，安德鲁·怀尔斯证明著名的费马大定理的过程超过100页纸的篇幅。然而，不用任何方程，我们也可以基本理解康托尔的无穷集合证明。
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证明过程必须注重严谨性，在用数学语言描述时，仅仅使用几张图表肯定是不够的。在介绍康托尔的证明时，我将对证明过程略做压缩处理，但是它们仍然非常直观，古希腊几何学家肯定也会欣然接受。不幸的是，与康托尔同时代的人却持有不同的看法。
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康托尔考虑的第一类数字是有理分数。他想象把所有正有理分数填入一张表中，使分子从左到右逐项加1，分母自上而下也逐项加1。于是，他得到下面这张表：
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显然，这张表是无法完整画出来的，因为它是一张无穷大的表。但是，我们可以看出它的规律。表中包含所有的有理分数，并且数字1将沿着对角线方向出现无数次。接下来，康托尔需要在表中找出一条可以到达所有位置的简单重复路径，才能证明表中的有理分数集与自然数集等势。也就是说，他需要制定一些法则，即算法，来帮助他通过一个简单的程序覆盖表中的所有方格，比如：
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1. 从左上角出发。
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2. 向右前进一步。
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3. 向左下方运动至表的边缘。
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4. 向下前进一步。
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5. 向右上方运动至表的边缘。
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6. 重复第2步及后续步骤。
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通过这个程序，最终可以走过表中所有有理分数，并且不会有任何遗漏。
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可以采取的路线不止一种，但重要的是，沿着康托尔建立的这条路线，我们可以一步一步地走遍所有方格。我们每迈出一步，就会走过一个方格。我们需要做的就是将这些步骤与整数配对，从而按部就班地建立起一一对应的关系。也就是说，总体来看，表中的有理分数集与整数集等势。因此，有理分数集的元素个数是。
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这个结论自然不会让我们大吃一惊。毕竟无穷大非常特殊，而且我们知道下面这个等式是成立的：
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