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1. 从左上角出发。
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2. 向右前进一步。
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3. 向左下方运动至表的边缘。
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4. 向下前进一步。
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5. 向右上方运动至表的边缘。
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6. 重复第2步及后续步骤。
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通过这个程序，最终可以走过表中所有有理分数，并且不会有任何遗漏。
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可以采取的路线不止一种，但重要的是，沿着康托尔建立的这条路线，我们可以一步一步地走遍所有方格。我们每迈出一步，就会走过一个方格。我们需要做的就是将这些步骤与整数配对，从而按部就班地建立起一一对应的关系。也就是说，总体来看，表中的有理分数集与整数集等势。因此，有理分数集的元素个数是。
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这个结论自然不会让我们大吃一惊。毕竟无穷大非常特殊，而且我们知道下面这个等式是成立的：
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×=
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直觉告诉我们，有理分数集符合这个规律是有道理的。但是，这并不意味着所有数学现象都是合理的。当康托尔使用同样的方法研究另一个数集时，他无比震惊地发现结果竟然大相径庭。
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想一想，0—1之间有哪些数字。（康托尔研究的其实不是这些数字，但是0—1的数字考虑起来最简单。）这里说的“数字”指什么呢？不仅仅是整数（如果我们说的0—1这个范围包含边界，那么共有两个整数），也不仅仅是有理分数（0—1之间的有理分数就是第195页表格第一列中的所有数字，也就是分子是1、分母是各个整数的所有分数。它们是所有分数的一个势为的子集）。除了这些数以外，还有无理数，即与2的平方根相类似的数，但我们在这里讨论的无理数数值都在0—1之间。
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从本质上讲，康托尔考虑的其实就是0—1之间的所有小数（即“实数”），而且包含这个范围内所有可能的数字。要使用上面那个方法，我们必须将表格打乱重排，否则小数的开头就会有无数个0，无论多大的纸也写不下这些0。重新排列之后，我们可能会得到下面这张表格：
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下面这个步骤充分展示了康托尔的天才。他按照每次后移一位的方式，从各个数中选出一个数位加粗。然后，他把这些加粗的数字排列起来，再逐项加上1（如果原来的数字是9，加1之后就会变成0）。这样，这些数字串就可以构成一个0—1之间的小数。例如，我们可以从上表得到下面这个小数：
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0.720 441 784 983…
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这个数字非常有意思。它与康托尔表格中的第一个数不同，因为它们的第一个小数位不同；它与表格中的第二个数不同，因为它们的第二个小数位不同；它与表格中的第三个数不同，原因同上。以此类推，它与表格中的所有小数都不相同。也就是说，我们得到的这个小数并不包含在上表中。
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如果我们可以成功地写出0—1之间的所有数字，我们就可以把这些数字与正整数逐个配对，从而证明小数集与自然数集等势。但事实上，我们无法写出所有小数。康托尔告诉我们（并给出了严格证明），0—1之间的数字比整数多。这个集合的势更大，是更大的无穷大。
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接下来，康托尔把探索的触角伸向其他维度。他把这个更大的势称作，因为它是0—1之间的连续统的势，也就是数轴上0—1之间所有点构成的集合的大小。然而，我们经常描述的是二维平面或者三维空间里的点，而数学家通过假设，可以轻松自如地考虑任意维度。这些无穷大是否适用于这些假设的维度呢？
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我们同样可以在几乎不使用数学工具的条件下，轻松地把康托尔接下来的证明过程解释清楚。我们通常会使用一组坐标（也就是我们前面讨论过的笛卡儿坐标系）来定义二维平面上的点，这些坐标可能是坐标图上的x和y，也可能是地图上的经度和纬度。因此，边长为1的正方形区域中的所有点都可以用两个0—1之间的实数来定位。
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