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直觉告诉我们，既然×=，我们似乎就可以将0—1之间的连续统的势按比例增大，从而将同样的法则应用于正方形中的所有点。但是，这并不是一个有效的证明。康托尔发现，把表示某个点的坐标的两个数放到一起，使它们的各个数位交错排列，就可以得到一个独一无二的小数，而且可以用这个小数确定这个点。这样一来，正方形区域内所有点的势就再次变成了0—1之间所有小数的势。通过交错排列更多的数位，我们可以延展至任意多的维度。就这样，连续统的无穷性再次体现在正方形中的所有点上。
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考虑数轴上0—1之间数字的无穷性，可以得出一个在研究无穷大时经常会让我们感到头晕眼花的悖论。根据康托尔的证明，我们知道有理分数集与整数集等势。接下来，我们让另外一个分数集，即1/2，1/4，1/8，1/16…这个数列，与有理分数并列，很容易证明它们也等势。此外，我们已经知道这个无穷级数的和是1。做好这些准备工作之后，好戏就要开场了。
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假设我们给数轴上的每个正有理分数发一把伞，以防止它们被雨水淋湿。这些伞都是简单的T形。第一把伞的T形结构在数轴上占据1/2个单位，第二把伞占据1/4个单位，以此类推。一旦所有的正有理分数都撑起伞，整个数轴就会全部被遮盖在雨伞之下。伞的T形结构向两边伸出的幅度相同，也就是说，第一把伞将遮挡住左右各1/4个单位中的所有数字。请注意，由于伞遮挡的都是有理分数，将第一把伞所在的点（同样是一个有理分数）加减1/4都会到达另一个有理分数。
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到目前为止，你没有发现任何问题吧？每把伞都立在一个有理分数所在的点上，同时向两边展开，伸到其他有理分数所在的位置。别忘了，我们给每个正有理分数都发了一把伞，因此伞与伞之间至少会相互接触，大多数情况下还会发生重叠，从而把整个数轴都遮挡起来。
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也就是说，我们利用雨伞把数轴上0至无穷大的部分全部遮盖起来。现在，再想一想伞的宽度，它们的宽度构成了无穷级数1/2 + 1/4 + 1/8 + …。在不发生重叠的情况下，这些雨伞最多可以覆盖数轴的1个单位，在发生重叠时，覆盖的长度就更小了。总宽度仅为1的物体集合竟然把无限延伸的直线都遮盖住了，你是不是感到困惑不解啊？这就是无穷大给我们的大脑带来的冲击。
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然而，尽管康托尔取得了这些成就，他却始终无法证明一个发现的正确性。他最终精神崩溃，或许就是出于这个原因。康托尔认为，无穷应该是分等级的，整数的无穷等级最低，其次是连续统的无穷等级，即。这个观念在他的心目中几乎达到了宗教的高度，事实上他把终极无穷与上帝联系到了一起。但是，他没有办法证明连续统的无穷等级是。在和之间可能还存在其他无穷等级。直到去世，康托尔也没有发现这是一项毫无意义的研究。后来，有人利用数学方法证明，这个被称作连续统假设的断言的正确性根本无法确定。
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这个结论是由数学家库尔特·哥德尔通过他的不完全性定理证明的。不完全性定理是所有数学家的噩梦。该定理认为，任何一个形式系统，只要包含了一阶谓词逻辑与初等数论，就必然存在一个命题，它在这个系统内既无法被证明为真，也无法被证明为伪。有时，即使在同一个世界内，我们可以应用的法则也可能不止一套。前面讨论的平面和曲面上的平行线的特性就是一个例子。但是，当我们试图使用数学工具探索现实世界时，就必须使用一套固定的法则。
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哥德尔的研究实质上是要证明任何系统中都会存在某些结果无法确定的问题。也就是说，从根本上看，数学是不完善的。如果把哥德尔不完全性定理简化，就与我们在前文讨论的罗素悖论非常相似了。罗素悖论给出的命题在应用数学系统的法则时会产生无法解决的问题。哥德尔成功地证明康托尔的连续统假设与集合论公理系统不矛盾——这个假设有可能是正确的，但是他无法证明。后来，另一位名叫保罗·科恩的数学家，证明了集合论与连续统假设彼此独立。换句话说，即使该假设不是真的，对集合论也不会产生任何影响。
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从本质上讲，他们的研究表明，只要现行的集合论公理系统不做修改，就不可能证明连续统的无穷级别就是高于的。哥德尔本人也着重强调了这一点，他说连续统假设的真实性肯定无法确定。他还说：“根据现在已知的集合论公理系统无法确定它的真实性，只能说明这些公理无法完整地描述现实世界。”
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我们知道，公理是为某个数学分支奠定基础的基本假设。数学家必须假定这些“已知”条件是真实的，然后以它们为基础，开始搭建数学结构。运用数学证明时一定会使用这些公理，但是这些公理毕竟是假设，假设肯定会引起人们的质疑，因此这些公理到底正确与否，难免引发争议。
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集合论是康托尔所有无穷大研究（更不用说这位数学家眼中的数字基本概念及运算法则）的基础，集合论自身的基础则是ZFC公理系统。其中Z和F分别指将康托尔的集合论研究成果整理成形的数学家策梅洛（Zermelo）和弗伦克尔（Fraenkel），C代表选择公理（把这条公理单独列出的原因马上就会揭晓）。系统中的8条公理对于20世纪的数学界而言非常熟悉：
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1.存在性公理。至少存在一个集合。基数源自空集，即没有任何元素的集合。但是，首先必须有集合存在。
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2.外延公理。当且仅当两个集合有同样的元素时，这两个集合相等。这条公理具有数学公理的典型特点：表面上是一个显而易见的命题，但是，要让数学有据可循，它又不可或缺。
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3.分类公理。对于所有集合与所有条件，都有一个集合与之对应，且该集合的元素正好是原集合中符合该条件的所有元素。换言之，从一个集合中选择一些元素，无论如何选取，所选择的元素都可以构成一个集合。例如，在所有大于1的自然数这个集合中，利用“除自身和1以外没有因数”这个条件，就可以得到另外一个集合，即素数集。
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4.无序对公理。对于任意两个集合，都存在第三个集合将前两个集合包含其中。也就是说，可以由两个集合得到第三个集合。
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5.并集公理。已知多个集合，则存在某个集合包含属于已知多个集合之中至少一个集合的所有元素。
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6.幂集公理。对于任意已知集合，都存在一系列集合，包含已知集合的所有子集。
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7.无穷公理。存在一个集合，包含空集和所有非空子集。
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8.选择公理。对于任意集合，我们都有办法从该集合的所有非空子集中选择一个元素。
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这些公理大多比较可靠，而且不会导致麻烦。但是如果我们处理的是无穷集，最后那条公理，也就是第8条公理，就会成为ZFC系统的大麻烦。隐患就在于“办法”这个词。当然，对于一个已知集合，我们肯定可以从中随机选择一个元素，但是“随机选择”并不能被视为一个有效的数学方法。我们可以不考虑任何特殊原因，从一系列物理对象中随机选择一个，但是利用数学方法完成随机选择的难度非常大，因为很难定义到底如何选择才算真正做到随机，除非集合的元素数量已知。
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对于有穷集，我们甚至无须做到随机选择，比如，我们可以采取“选择集合的第一个元素”的方法。但是，整数是所有数字的一个子集，它们沿着正负方向无限延伸。如果我们需要从这个子集中选取一个数字，应该如何做呢？也许“选择中值”这条法则可以帮助我们完成任务，但是无穷集的中值真的那么显而易见吗？