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×=
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直觉告诉我们，有理分数集符合这个规律是有道理的。但是，这并不意味着所有数学现象都是合理的。当康托尔使用同样的方法研究另一个数集时，他无比震惊地发现结果竟然大相径庭。
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想一想，0—1之间有哪些数字。（康托尔研究的其实不是这些数字，但是0—1的数字考虑起来最简单。）这里说的“数字”指什么呢？不仅仅是整数（如果我们说的0—1这个范围包含边界，那么共有两个整数），也不仅仅是有理分数（0—1之间的有理分数就是第195页表格第一列中的所有数字，也就是分子是1、分母是各个整数的所有分数。它们是所有分数的一个势为的子集）。除了这些数以外，还有无理数，即与2的平方根相类似的数，但我们在这里讨论的无理数数值都在0—1之间。
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从本质上讲，康托尔考虑的其实就是0—1之间的所有小数（即“实数”），而且包含这个范围内所有可能的数字。要使用上面那个方法，我们必须将表格打乱重排，否则小数的开头就会有无数个0，无论多大的纸也写不下这些0。重新排列之后，我们可能会得到下面这张表格：
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下面这个步骤充分展示了康托尔的天才。他按照每次后移一位的方式，从各个数中选出一个数位加粗。然后，他把这些加粗的数字排列起来，再逐项加上1（如果原来的数字是9，加1之后就会变成0）。这样，这些数字串就可以构成一个0—1之间的小数。例如，我们可以从上表得到下面这个小数：
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0.720 441 784 983…
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这个数字非常有意思。它与康托尔表格中的第一个数不同，因为它们的第一个小数位不同；它与表格中的第二个数不同，因为它们的第二个小数位不同；它与表格中的第三个数不同，原因同上。以此类推，它与表格中的所有小数都不相同。也就是说，我们得到的这个小数并不包含在上表中。
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如果我们可以成功地写出0—1之间的所有数字，我们就可以把这些数字与正整数逐个配对，从而证明小数集与自然数集等势。但事实上，我们无法写出所有小数。康托尔告诉我们（并给出了严格证明），0—1之间的数字比整数多。这个集合的势更大，是更大的无穷大。
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接下来，康托尔把探索的触角伸向其他维度。他把这个更大的势称作，因为它是0—1之间的连续统的势，也就是数轴上0—1之间所有点构成的集合的大小。然而，我们经常描述的是二维平面或者三维空间里的点，而数学家通过假设，可以轻松自如地考虑任意维度。这些无穷大是否适用于这些假设的维度呢？
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我们同样可以在几乎不使用数学工具的条件下，轻松地把康托尔接下来的证明过程解释清楚。我们通常会使用一组坐标（也就是我们前面讨论过的笛卡儿坐标系）来定义二维平面上的点，这些坐标可能是坐标图上的x和y，也可能是地图上的经度和纬度。因此，边长为1的正方形区域中的所有点都可以用两个0—1之间的实数来定位。
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直觉告诉我们，既然×=，我们似乎就可以将0—1之间的连续统的势按比例增大，从而将同样的法则应用于正方形中的所有点。但是，这并不是一个有效的证明。康托尔发现，把表示某个点的坐标的两个数放到一起，使它们的各个数位交错排列，就可以得到一个独一无二的小数，而且可以用这个小数确定这个点。这样一来，正方形区域内所有点的势就再次变成了0—1之间所有小数的势。通过交错排列更多的数位，我们可以延展至任意多的维度。就这样，连续统的无穷性再次体现在正方形中的所有点上。
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考虑数轴上0—1之间数字的无穷性，可以得出一个在研究无穷大时经常会让我们感到头晕眼花的悖论。根据康托尔的证明，我们知道有理分数集与整数集等势。接下来，我们让另外一个分数集，即1/2，1/4，1/8，1/16…这个数列，与有理分数并列，很容易证明它们也等势。此外，我们已经知道这个无穷级数的和是1。做好这些准备工作之后，好戏就要开场了。
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假设我们给数轴上的每个正有理分数发一把伞，以防止它们被雨水淋湿。这些伞都是简单的T形。第一把伞的T形结构在数轴上占据1/2个单位，第二把伞占据1/4个单位，以此类推。一旦所有的正有理分数都撑起伞，整个数轴就会全部被遮盖在雨伞之下。伞的T形结构向两边伸出的幅度相同，也就是说，第一把伞将遮挡住左右各1/4个单位中的所有数字。请注意，由于伞遮挡的都是有理分数，将第一把伞所在的点（同样是一个有理分数）加减1/4都会到达另一个有理分数。
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到目前为止，你没有发现任何问题吧？每把伞都立在一个有理分数所在的点上，同时向两边展开，伸到其他有理分数所在的位置。别忘了，我们给每个正有理分数都发了一把伞，因此伞与伞之间至少会相互接触，大多数情况下还会发生重叠，从而把整个数轴都遮挡起来。
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也就是说，我们利用雨伞把数轴上0至无穷大的部分全部遮盖起来。现在，再想一想伞的宽度，它们的宽度构成了无穷级数1/2 + 1/4 + 1/8 + …。在不发生重叠的情况下，这些雨伞最多可以覆盖数轴的1个单位，在发生重叠时，覆盖的长度就更小了。总宽度仅为1的物体集合竟然把无限延伸的直线都遮盖住了，你是不是感到困惑不解啊？这就是无穷大给我们的大脑带来的冲击。
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然而，尽管康托尔取得了这些成就，他却始终无法证明一个发现的正确性。他最终精神崩溃，或许就是出于这个原因。康托尔认为，无穷应该是分等级的，整数的无穷等级最低，其次是连续统的无穷等级，即。这个观念在他的心目中几乎达到了宗教的高度，事实上他把终极无穷与上帝联系到了一起。但是，他没有办法证明连续统的无穷等级是。在和之间可能还存在其他无穷等级。直到去世，康托尔也没有发现这是一项毫无意义的研究。后来，有人利用数学方法证明，这个被称作连续统假设的断言的正确性根本无法确定。
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这个结论是由数学家库尔特·哥德尔通过他的不完全性定理证明的。不完全性定理是所有数学家的噩梦。该定理认为，任何一个形式系统，只要包含了一阶谓词逻辑与初等数论，就必然存在一个命题，它在这个系统内既无法被证明为真，也无法被证明为伪。有时，即使在同一个世界内，我们可以应用的法则也可能不止一套。前面讨论的平面和曲面上的平行线的特性就是一个例子。但是，当我们试图使用数学工具探索现实世界时，就必须使用一套固定的法则。
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哥德尔的研究实质上是要证明任何系统中都会存在某些结果无法确定的问题。也就是说，从根本上看，数学是不完善的。如果把哥德尔不完全性定理简化，就与我们在前文讨论的罗素悖论非常相似了。罗素悖论给出的命题在应用数学系统的法则时会产生无法解决的问题。哥德尔成功地证明康托尔的连续统假设与集合论公理系统不矛盾——这个假设有可能是正确的，但是他无法证明。后来，另一位名叫保罗·科恩的数学家，证明了集合论与连续统假设彼此独立。换句话说，即使该假设不是真的，对集合论也不会产生任何影响。
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