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可以采取的路线不止一种，但重要的是，沿着康托尔建立的这条路线，我们可以一步一步地走遍所有方格。我们每迈出一步，就会走过一个方格。我们需要做的就是将这些步骤与整数配对，从而按部就班地建立起一一对应的关系。也就是说，总体来看，表中的有理分数集与整数集等势。因此，有理分数集的元素个数是。
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这个结论自然不会让我们大吃一惊。毕竟无穷大非常特殊，而且我们知道下面这个等式是成立的：
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×=
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直觉告诉我们，有理分数集符合这个规律是有道理的。但是，这并不意味着所有数学现象都是合理的。当康托尔使用同样的方法研究另一个数集时，他无比震惊地发现结果竟然大相径庭。
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想一想，0—1之间有哪些数字。（康托尔研究的其实不是这些数字，但是0—1的数字考虑起来最简单。）这里说的“数字”指什么呢？不仅仅是整数（如果我们说的0—1这个范围包含边界，那么共有两个整数），也不仅仅是有理分数（0—1之间的有理分数就是第195页表格第一列中的所有数字，也就是分子是1、分母是各个整数的所有分数。它们是所有分数的一个势为的子集）。除了这些数以外，还有无理数，即与2的平方根相类似的数，但我们在这里讨论的无理数数值都在0—1之间。
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从本质上讲，康托尔考虑的其实就是0—1之间的所有小数（即“实数”），而且包含这个范围内所有可能的数字。要使用上面那个方法，我们必须将表格打乱重排，否则小数的开头就会有无数个0，无论多大的纸也写不下这些0。重新排列之后，我们可能会得到下面这张表格：
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下面这个步骤充分展示了康托尔的天才。他按照每次后移一位的方式，从各个数中选出一个数位加粗。然后，他把这些加粗的数字排列起来，再逐项加上1（如果原来的数字是9，加1之后就会变成0）。这样，这些数字串就可以构成一个0—1之间的小数。例如，我们可以从上表得到下面这个小数：
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0.720 441 784 983…
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这个数字非常有意思。它与康托尔表格中的第一个数不同，因为它们的第一个小数位不同；它与表格中的第二个数不同，因为它们的第二个小数位不同；它与表格中的第三个数不同，原因同上。以此类推，它与表格中的所有小数都不相同。也就是说，我们得到的这个小数并不包含在上表中。
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如果我们可以成功地写出0—1之间的所有数字，我们就可以把这些数字与正整数逐个配对，从而证明小数集与自然数集等势。但事实上，我们无法写出所有小数。康托尔告诉我们（并给出了严格证明），0—1之间的数字比整数多。这个集合的势更大，是更大的无穷大。
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接下来，康托尔把探索的触角伸向其他维度。他把这个更大的势称作，因为它是0—1之间的连续统的势，也就是数轴上0—1之间所有点构成的集合的大小。然而，我们经常描述的是二维平面或者三维空间里的点，而数学家通过假设，可以轻松自如地考虑任意维度。这些无穷大是否适用于这些假设的维度呢？
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我们同样可以在几乎不使用数学工具的条件下，轻松地把康托尔接下来的证明过程解释清楚。我们通常会使用一组坐标（也就是我们前面讨论过的笛卡儿坐标系）来定义二维平面上的点，这些坐标可能是坐标图上的x和y，也可能是地图上的经度和纬度。因此，边长为1的正方形区域中的所有点都可以用两个0—1之间的实数来定位。
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直觉告诉我们，既然×=，我们似乎就可以将0—1之间的连续统的势按比例增大，从而将同样的法则应用于正方形中的所有点。但是，这并不是一个有效的证明。康托尔发现，把表示某个点的坐标的两个数放到一起，使它们的各个数位交错排列，就可以得到一个独一无二的小数，而且可以用这个小数确定这个点。这样一来，正方形区域内所有点的势就再次变成了0—1之间所有小数的势。通过交错排列更多的数位，我们可以延展至任意多的维度。就这样，连续统的无穷性再次体现在正方形中的所有点上。
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考虑数轴上0—1之间数字的无穷性，可以得出一个在研究无穷大时经常会让我们感到头晕眼花的悖论。根据康托尔的证明，我们知道有理分数集与整数集等势。接下来，我们让另外一个分数集，即1/2，1/4，1/8，1/16…这个数列，与有理分数并列，很容易证明它们也等势。此外，我们已经知道这个无穷级数的和是1。做好这些准备工作之后，好戏就要开场了。
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假设我们给数轴上的每个正有理分数发一把伞，以防止它们被雨水淋湿。这些伞都是简单的T形。第一把伞的T形结构在数轴上占据1/2个单位，第二把伞占据1/4个单位，以此类推。一旦所有的正有理分数都撑起伞，整个数轴就会全部被遮盖在雨伞之下。伞的T形结构向两边伸出的幅度相同，也就是说，第一把伞将遮挡住左右各1/4个单位中的所有数字。请注意，由于伞遮挡的都是有理分数，将第一把伞所在的点（同样是一个有理分数）加减1/4都会到达另一个有理分数。
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到目前为止，你没有发现任何问题吧？每把伞都立在一个有理分数所在的点上，同时向两边展开，伸到其他有理分数所在的位置。别忘了，我们给每个正有理分数都发了一把伞，因此伞与伞之间至少会相互接触，大多数情况下还会发生重叠，从而把整个数轴都遮挡起来。
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也就是说，我们利用雨伞把数轴上0至无穷大的部分全部遮盖起来。现在，再想一想伞的宽度，它们的宽度构成了无穷级数1/2 + 1/4 + 1/8 + …。在不发生重叠的情况下，这些雨伞最多可以覆盖数轴的1个单位，在发生重叠时，覆盖的长度就更小了。总宽度仅为1的物体集合竟然把无限延伸的直线都遮盖住了，你是不是感到困惑不解啊？这就是无穷大给我们的大脑带来的冲击。
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