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然而，尽管康托尔取得了这些成就，他却始终无法证明一个发现的正确性。他最终精神崩溃，或许就是出于这个原因。康托尔认为，无穷应该是分等级的，整数的无穷等级最低，其次是连续统的无穷等级，即。这个观念在他的心目中几乎达到了宗教的高度，事实上他把终极无穷与上帝联系到了一起。但是，他没有办法证明连续统的无穷等级是。在和之间可能还存在其他无穷等级。直到去世，康托尔也没有发现这是一项毫无意义的研究。后来，有人利用数学方法证明，这个被称作连续统假设的断言的正确性根本无法确定。
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这个结论是由数学家库尔特·哥德尔通过他的不完全性定理证明的。不完全性定理是所有数学家的噩梦。该定理认为，任何一个形式系统，只要包含了一阶谓词逻辑与初等数论，就必然存在一个命题，它在这个系统内既无法被证明为真，也无法被证明为伪。有时，即使在同一个世界内，我们可以应用的法则也可能不止一套。前面讨论的平面和曲面上的平行线的特性就是一个例子。但是，当我们试图使用数学工具探索现实世界时，就必须使用一套固定的法则。
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哥德尔的研究实质上是要证明任何系统中都会存在某些结果无法确定的问题。也就是说，从根本上看，数学是不完善的。如果把哥德尔不完全性定理简化，就与我们在前文讨论的罗素悖论非常相似了。罗素悖论给出的命题在应用数学系统的法则时会产生无法解决的问题。哥德尔成功地证明康托尔的连续统假设与集合论公理系统不矛盾——这个假设有可能是正确的，但是他无法证明。后来，另一位名叫保罗·科恩的数学家，证明了集合论与连续统假设彼此独立。换句话说，即使该假设不是真的，对集合论也不会产生任何影响。
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从本质上讲，他们的研究表明，只要现行的集合论公理系统不做修改，就不可能证明连续统的无穷级别就是高于的。哥德尔本人也着重强调了这一点，他说连续统假设的真实性肯定无法确定。他还说：“根据现在已知的集合论公理系统无法确定它的真实性，只能说明这些公理无法完整地描述现实世界。”
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我们知道，公理是为某个数学分支奠定基础的基本假设。数学家必须假定这些“已知”条件是真实的，然后以它们为基础，开始搭建数学结构。运用数学证明时一定会使用这些公理，但是这些公理毕竟是假设，假设肯定会引起人们的质疑，因此这些公理到底正确与否，难免引发争议。
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集合论是康托尔所有无穷大研究（更不用说这位数学家眼中的数字基本概念及运算法则）的基础，集合论自身的基础则是ZFC公理系统。其中Z和F分别指将康托尔的集合论研究成果整理成形的数学家策梅洛（Zermelo）和弗伦克尔（Fraenkel），C代表选择公理（把这条公理单独列出的原因马上就会揭晓）。系统中的8条公理对于20世纪的数学界而言非常熟悉：
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1.存在性公理。至少存在一个集合。基数源自空集，即没有任何元素的集合。但是，首先必须有集合存在。
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2.外延公理。当且仅当两个集合有同样的元素时，这两个集合相等。这条公理具有数学公理的典型特点：表面上是一个显而易见的命题，但是，要让数学有据可循，它又不可或缺。
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3.分类公理。对于所有集合与所有条件，都有一个集合与之对应，且该集合的元素正好是原集合中符合该条件的所有元素。换言之，从一个集合中选择一些元素，无论如何选取，所选择的元素都可以构成一个集合。例如，在所有大于1的自然数这个集合中，利用“除自身和1以外没有因数”这个条件，就可以得到另外一个集合，即素数集。
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4.无序对公理。对于任意两个集合，都存在第三个集合将前两个集合包含其中。也就是说，可以由两个集合得到第三个集合。
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5.并集公理。已知多个集合，则存在某个集合包含属于已知多个集合之中至少一个集合的所有元素。
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6.幂集公理。对于任意已知集合，都存在一系列集合，包含已知集合的所有子集。
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7.无穷公理。存在一个集合，包含空集和所有非空子集。
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8.选择公理。对于任意集合，我们都有办法从该集合的所有非空子集中选择一个元素。
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这些公理大多比较可靠，而且不会导致麻烦。但是如果我们处理的是无穷集，最后那条公理，也就是第8条公理，就会成为ZFC系统的大麻烦。隐患就在于“办法”这个词。当然，对于一个已知集合，我们肯定可以从中随机选择一个元素，但是“随机选择”并不能被视为一个有效的数学方法。我们可以不考虑任何特殊原因，从一系列物理对象中随机选择一个，但是利用数学方法完成随机选择的难度非常大，因为很难定义到底如何选择才算真正做到随机，除非集合的元素数量已知。
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对于有穷集，我们甚至无须做到随机选择，比如，我们可以采取“选择集合的第一个元素”的方法。但是，整数是所有数字的一个子集，它们沿着正负方向无限延伸。如果我们需要从这个子集中选取一个数字，应该如何做呢？也许“选择中值”这条法则可以帮助我们完成任务，但是无穷集的中值真的那么显而易见吗？
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好消息是，我们现在有办法“修复”ZFC系统，为连续统假设这个问题给出一个确切的答案。大多数数学家都认为最好的办法是“力迫法”或“内模型法”（这个方法还有一个上口的别称——V = ultimate L，即集合论宇宙终极可构成集类）。唯一的问题是，力迫法告诉我们连续统假设是错误的，而内模型法则认为连续统假设是正确的。
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这两个可能的结果充分显示了数学的本质和它与现实世界的关系。集合论绝对是我们每天都要使用的实用数学的基础之一，然而集合论自身在选用公理这个方面却具有随机性。一条道路通向光怪陆离、令人向往的数学世界，另一条道路则更贴近我们心目中的现实世界。就纯粹数学而言，这不是问题，只能说明我们使用的是两个不同的数学系统，就好比有的数学系统是建立在维度多达数千而且与现实世界毫不相干的基础之上。但是，作为科学的基础，我们还是希望找到一条具有唯一性和确定性的数学道路。
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尽管在科学研究中应用数学工具，会因为集合论自身的问题而受到严重影响，但是康托尔的无穷性研究并不会给我们带来明显的麻烦。我们知道，如果方程涉及变化，而且某些值可以通过合并无穷多个无穷小的部分的方式推导得出，牛顿、莱布尼茨及其后来者在进行微积分运算时就会使用潜无穷的概念。在这种情况下，无穷的概念（至少是亚里士多德提出的潜无穷概念）具有让人无法抗拒的价值。我们更不清楚的是，如果脱离了彻底抽象化的数学世界，康托尔的实无穷是否还有任何实际意义。
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答案非常简单，到现在为止，我们还不知道无穷在现实世界中到底有没有意义。宇宙可能是无穷无尽的，大爆炸理论并不能彻底否定这种可能性。我们只知道可观测宇宙的直径大约是900亿光年，这个数字是对光自宇宙诞生以来传播的距离与相同时间里宇宙膨胀的速度加以综合之后得出的结论。但是，无论我们这个宇宙是独一无二的，还是无穷无尽的宇宙海洋中不起眼的一滴水（很多现代大爆炸模型认为，在更大的多元宇宙中发生过多次大爆炸），宇宙的膨胀都有可能是没有限度的。
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从某些方面看，无限宇宙似乎比有限宇宙更有吸引力，因为有限宇宙会让人们情不自禁地遐想：宇宙边界之外是什么？但是，数学家已经找到了一个可能的答案：即使是有限宇宙，也可能完全没有边界。
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这个答案似乎与我们的直觉不符，因为这在常见的三维空间中是很难想象的，但是我们可以轻松地找到一个二维类比对象——月球表面。（我选择月球表面而没有选择地球表面，是因为地球表面上的海洋会破坏它的连续性。）月球上有一个有限空间，即它的表面，而且这个有限空间没有边界。我们可以朝着任意方向一直走下去，也不会走到月球的边缘。站在月球上看，月球表面似乎是一个平面。把平面折向第三个维度，让边缘结合到一起，平面的边界就消失了。要在宇宙中想象出类似效果，我们需要把宇宙的体积折向第四个维度。在折叠之前，我们在某个位置上跨出一步就相当于从宇宙的一个侧面跨出去，但是在折叠之后，跨出去的这一步会让我们从宇宙的这一面进入与之相对的另一面。
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现实世界中另一个可能真正具有无穷性的事物是时间。亚里士多德认为时间没有尽头，可以被视为一个无限膨胀的过程。有的宇宙学理论认为宇宙也没有起点，尽管更受欢迎的大爆炸理论揭示了宇宙的起源。但是，有人认为，如果宇宙膨胀到一定程度，之后再也不会发生任何变化，宇宙就走到了尽头。在这种情况下，我们有理由相信时间已经不存在了，因为时间的流逝将没有办法表示。
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