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数学世界的探奇之旅 [:1701011755]
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数学世界的探奇之旅 第13章 爱因斯坦：量子物理与抽象数学
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学校里有一个非常奇怪的现象：在中学毕业之前，学生们学习的物理学知识与19世纪末的物理教学内容完全相同。对于1900年以后的物理学，他们可能略知一二，但是，除非他们上大学之后继续学习物理，否则就不大可能了解这门科学在20世纪到底取得了哪些发展（更不用说21世纪的物理学了）。
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其他学科则几乎不可能发生这样的情况。例如，如果英语课只介绍19世纪90年代之前的文学作品，大家肯定会觉得十分奇怪。但是，从1900年至今，文学领域的变化远比不上物理学，因为20世纪产生了两大革命性理论——相对论和量子论，1900年之前的所有物理学知识都无法逃脱被修改或者被摒弃的命运。作为新科学的组成部分，这两大理论都从数学那里获得了重要的推动力。
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相对性这个基础概念要追溯至伽利略时代，痴迷于研究对称的人（参见下一章）肯定认为相对性与对称的本质——不变性有关。所谓不变性，是指不会随周围环境的变化而变化的力、物体或物体的某种特性。也就是说，即使发生某个特定变化，某事物的活动方式与结果仍然保持不变。在伽利略提出的相对性原理中，不变与稳态运动有关。
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众所周知，伽利略曾经对人们深信不疑的几个古代信条提出过严厉批评，他提出相对性原理也是出于这个目的。据传，伽利略在一次外出游湖时证明了相对性这个概念。当时，他和几位朋友在皮耶迪卢科湖上泛舟，船以某个固定速度前进。伽利略问谁身上有比较重的物体，他的朋友斯泰卢蒂拿出自己的钥匙，递给伽利略。这把钥匙是铁制的，很大很结实，如果丢失，将很难配制。伽利略接过钥匙，朝着正上方用力抛出去。因为6名船工正在奋力划桨，因此船前进的速度非常快。斯泰卢蒂赶紧向船后方跑去，希望能接住掉下来的钥匙。但是，另外几名朋友拉住了他。最终，钥匙垂直掉下来，落在伽利略的大腿上。
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伽利略通过这个“实验”证明了他提出的观点：在稳态运动的物体上，例如那条船，我们可以顺利完成任何物理实验，实验过程中不会受到船以外世界的任何影响，实验结果与我们在静止状态下完成的实验没有任何不同。如果伽利略坐在岸上不动，斯泰卢蒂知道钥匙肯定会垂直上升然后垂直下落。但伽利略却知道，在船上抛钥匙也会得到同样的结果。所谓“相对性”，就是伽利略发现相对钥匙而言，船并没有移动。只有相对于其他事物，才可以发现或探查到稳态运动。所以，伽利略规定了“船以外世界”这个条件。比如，与湖岸相比，船正在运动，并且我们可以通过实验方便地探查出船的运动状态。
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伽利略的研究并没有使用复杂的数学知识，但即便如此，学校的科学课程也往往不会把伽利略的相对性理论纳入教学内容。似乎只要提起“相对性”这个词，就会让那些教育家们感到害怕。我们会把结果教给孩子们，但是我们不会认真解释相对性这个重要概念的真正含义。我知道，大多数教师都会辩解说，他们之所以没有深入讨论，是因为这些内容太难了。当然，如果讨论广义相对论和量子理论，对知识水平的要求肯定不是中学生可以达到的。但是，如果只要求他们掌握相对性和量子理论的概念，就不会有太大的难度了。事实上，我到学校做报告时，发现学生们理解这些概念的速度比成年人更快，这可能是因为年轻人更习惯于接受新奇的东西。
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然而，爱因斯坦改进伽利略相对性原理的第一个成果——狭义相对论，对数学水平的要求并不是太高，所以实在没有理由将它排除在中学课程之外。的确，理解狭义相对论需要掌握数学知识，而且这些数学知识与牛顿定律中使用的我们习以为常的数学知识有所不同，但是，两者之间的跨度是可以接受的。此外，狭义相对论是一门有极强吸引力的科学。比如，一讲到时空穿梭机，学生们个个都正襟危坐，认真听讲。因此，中学不教授狭义相对论是没有任何道理可言的。
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从本质上讲，爱因斯坦的研究实际上是对伽利略的相对性概念进行了拓展，并将麦克斯韦揭示的光的本质也纳入其中。麦克斯韦的研究表明，速度是电磁波的一个决定性特征。根据伽利略的相对性原理，如果我们与某个正在运动的事物并肩前进，而且速度相同，对我们来说，这个“正在运动的事物”就是静止不动的。因此，在伽利略把斯泰卢蒂的钥匙朝正上方扔出去后，钥匙会掉落在他的大腿上。但是，如果这个原理同样适用于光，那么与光并肩前进就会改变光的速度。一旦光的传播速度不等于光速的定义值，光将不复存在。
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一般人可能会认为麦克斯韦错了，但是爱因斯坦十分赞赏麦克斯韦的证明过程。他由此推断光与其他事物不同，即使我们与光做相对运动，光的速度也不会发生改变。这似乎是一个无关紧要的变化，但是一旦把这个变化放入研究运动的基础数学（始于伽利略和牛顿）中，就会对现实的本质产生令人惊讶的影响。
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所谓的“光钟”就是一个非常简单的例子，可以帮助我们了解这种变化的影响力。光钟这种装置没有钟表的“滴答”声，取而代之的是一束光在两个水平镜面之间不断反弹。当上下传播时，光束始终在一条直线上。假设把光钟放到一艘透明的宇宙飞船中，然后我们在地球上用一台超级望远镜观察它。如果飞船没有与地球做相对运动，那么地球上的人与飞船上的人从光钟上看到的时间应该是一模一样的。在这两个人看来，光钟都没有移动，因此光束在镜面之间反射时肯定与镜面垂直。
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现在，我们假设飞船正在以一个很快的恒定速度相对于地球运动。伽利略的相对性原理告诉我们，对飞船上的人而言，飞船里没有发生任何变化，光钟在他们眼中没有运动，那束光继续沿着直线稳定地上下传播。但是，地球上的人却看到了某些变化。现在，假设那束光刚好从光钟顶部的镜面上反射出去，在它到达底部镜面的这段时间里，飞船将发生侧移。于是，光将不再垂直向下传播，而是沿着一条更长的斜线传播。在光返回光钟顶部的镜面的过程中，同样的现象将再次发生。也就是说，光将成“之”字形传播。
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如果伽利略的相对性原理是正确的，情况就会大不相同。假设我们坐在皮耶迪卢科湖岸边，观看湖面上伽利略乘坐的那条船。船上有一个与光钟相似的东西，正在由上向下发射一串钢珠。在船上的人看来，“光钟”没有动，钢珠将沿着垂直方向向下运动。但是，我们坐在岸上会看到船与钢珠都在发生侧移，因此我们会将钢珠的两种运动加到一起，计算出一个新的速度。但是，如果爱因斯坦是对的，也就是说，无论我们以何种方式与光做相对运动，光的速度都会保持不变，那么地球上的人在观看光钟时，看到的情景就会与飞船上的人不同。光传播的距离增加了，但是速度不会改变。
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这就意味着肯定有其他因素发生了改变，光才可以按时抵达目的地。爱因斯坦通过数学计算，发现必然会产生三种效应。从地球上看，飞船上的时间变慢了，运动距离缩短了，飞船的质量增加了。根据狭义相对论，空间和时间再也不被视为两个完全独立的实体，研究两者的结合体——时空，变得非常有必要。
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事实上，要解决这个问题，只需要学习一点儿古希腊几何学和计算平方根的数学知识（所以，中学生应该学习狭义相对论）即可。爱因斯坦根据光钟的几何结构，再通过几个思想实验，计算出通常被称作伽马（γ）的关键因子就等于，其中v是观察者观察到的运动物体的速度（本例中就是宇宙飞船的速度），c指光速。
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我们还是以光钟为例。如果飞船上的时间变化量为t，那么对于地球上的观察者而言，这段时长是t/γ，即t/。这个表达式看似涉及高深的数学知识，但其实非常简单。如果v等于0，即飞船保持静止，则v2/c2等于0，除数为1，最后得数就是t。此时，对于飞船与地球上的人而言，时间流逝的速度是相同的。
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但是，随着v越来越接近光速（c），t被一个越来越小的数除，因此从地球上观察，这段时间就会越来越长。如果γ等于1/2，则这段时间等于2t。如果γ等于1/4，则这段时间是4t。对于飞船上的人而言，时间流逝的速度没有任何变化，但是对地球上的人来说，飞船上时间流逝的速度变慢了，当飞船上流逝的时间为t时，地球上的时间已经流逝4t了。
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最让人感到奇怪的是，相对性是完全对称的。地球上的人往往把地球表面定义为“静止”，但是这个判断具有主观随意性（尽管通常比较方便）。毕竟，地球不仅绕着轴线自转，沿着轨道围绕太阳公转，还与银河系一起在太空中高速遨游。但是，我们往往不会这样想，而是采用了伽利略站在游船上的视角，认为船是静止的，而周围世界正在向我们身后运动。与之类似，从飞船乘客的视角来观察，飞船根本没有动，而地球正在向远方高速飞去。至于选择其中哪方作为固定点（科学家常常称之为“参照系”），我们没有一定之规。因此，如果飞船上的乘客可以看到地球上的光钟，他们就会发现因为地球正在远离飞船，所以地球上的时间变慢了。
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我在这里并不是要讨论以接近光速飞行会产生哪些结果，但是我必须简要说明在著名的“时间膨胀”效应的例子中为什么没有这种对称性。在这个思想实验中，两个双胞胎姐妹参与了一项飞船任务。其中一个人是任务主管，另一个人是宇航员，后者要乘飞船以接近光速的速度飞行，执行一个长期任务。假设任务开始时两姐妹正好30岁，至任务结束时，“宇航员”感觉时间过去了5年，但是她发现留在地球上的姐姐却长了10岁。
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如果相对性像上文所说的那样具有完全对称性，那么这个思想实验似乎不应该出现这样的结果。在飞船以恒定速度飞离地球时，对称性应该始终发挥作用。但是，这种对称性随后发生了改变。在某个时刻，宇航员必须向飞船施加一个作用力，让它减速，然后加速返回地球。抵达地球时，她需要再施加一个作用力，使飞船的运动速度等于地球的运动速度。这个变化只发生在飞船上，而没有发生在地球上。在它的影响下，时钟被校准了，所以宇航员感觉时间只过去了5年。
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毫无疑问，狭义相对论的数学运算经常给出一些令人惊讶的结果，包括时间膨胀、没有质量却有动量的粒子（例如光子），以及把能量与质量联系到一起的终极方程E=mc2。然而，一般而言，其中用到的基础数学知识对于高中生来说并不是很难。但是，广义相对论的情况有所不同。在研究广义相对论时，即使爱因斯坦也要在数学上向人求助。尽管关键的几个方程看似非常简单，但是其中隐藏了极大的复杂性，只有在特例中才可以求解，而不是在任何情况下都能找到答案。
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广义相对论将加速度和万有引力纳入其中（因此，与狭义相对论相比，广义相对论中的相对性具有普遍性），但是它所涉及的基础知识并不是特别难。广义相对论始于现在被称作等效原理的想法（爱因斯坦称之为“最快乐的思想”）。
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