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爱因斯坦产生这个想法的时候还是一名业余科学家，在瑞士专利局上班。（爱因斯坦在这里完成了狭义相对论的全部工作，但是他在完成广义相对论的主要研究前，一直未获得学术界的认可。）他后来说：“当时，我正坐在伯尔尼专利局的椅子上，突然我的脑海里闪过一个念头：如果一个人做自由落体运动，他肯定不会感受到自己的体重。我吓了一跳。这个简单的想法让我久久不能忘怀，在它的驱动下，我开始研究万有引力理论。”
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不熟悉广义相对论的人，无法从爱因斯坦的这番话中看出他当时到底想到了什么。爱因斯坦其实是在举例子。如果有人从非常高的建筑物上掉下来，他就会加速下落，而且加速度是一个标准值，由地球与他的身体之间的万有引力决定。但是，与此同时，他会有失重的感觉。就像国际空间站里的宇航员一样，他会感觉自己飘浮在空中。当然，你在从高处掉落时会使周围空气发生振动。因此，想象你在箱子里，与箱子一起做自由落体运动，效果可能会更好。实际上，国际空间站的宇航员之所以有失重感，唯一的原因是他们正在下落。
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值得注意的是，空间站高度上的地心引力强度与地面其实非常接近，大约是正常地心引力的9/10。造成宇航员失重感的原因是空间站正在垂直下落，就像从建筑物上掉下来的人一样，正在做自由落体运动。两者之间唯一的区别是空间站还在向侧方高速运动，因此，尽管它一直在下落，却怎么也到不了地面。这是进入运转轨道之后必然产生的结果：一直在下落，却怎么也到不了地面。
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因此，那些飘浮在空间站中的宇航员就是一个平常而真实的例子，他们向我们演示了爱因斯坦的想法：做自由落体运动的人感受不到自己的体重。在他们加速下落的时候，他们本来可以感受到的引力被抵消了。相比之下，如果我们下落的加速度超过了引力的作用，我们就会产生引力场正在将我们朝相反方向拉扯的感觉。大家想一想，飞机沿跑道开始加速时，你会有什么样的感觉？你会感到一种与引力非常相似的压力，将你推向椅背。如果加速度足够大，你就可以体验到宇航员或者战斗机飞行员经常感受到的“几倍重力”的感觉，你会觉得体重变得非常沉。
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接下来，我们看看爱因斯坦当时想到了什么。宇航员和从高楼上掉下来的人在自由落体的过程中都感觉不到自身的重量，这个事实说明加速度与万有引力的体验完全相同。他在脑海里想象出一个与伽利略的设想非常相似的情境。当初，伽利略在考虑相对性时，想象自己身处一个平稳前进、没有窗户的船舱中。他发现，无论在这个船舱中做什么实验，都无法确定自己是在运动还是静止状态。爱因斯坦在研究狭义相对论时，还考虑了光速不变这个条件。现在，他又把加速度加了进来，要考虑的东西更多了。
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假设你在一艘没有窗户的宇宙飞船中，有一个大小不变的力正在将你推向飞船的后部，使你感受到自己的体重。爱因斯坦称，飞船有可能正降落在某个星球上，且该星球的引力正好与将你向后推的力大小相等；飞船也有可能正在太空中，在引擎的推动下以恒定的加速度提高飞行速度。但是，你无法在飞船中通过做实验来判断它到底处于哪种状态。引力的拉动与加速度是等效的，二者无法区分。
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爱卖弄的学究（喜欢卖弄的人往往与科学研究有密切关系）可能会辩解，严格地说，这两种情况是可以区分的，因为我们可以在飞船内部四处走动。既然如此，我们可以在飞船后部和前部各做一次实验。如果飞船在加速，两次实验结果应该没有什么不同，因为飞船各个位置的加速度是一样的。但是，如果是受引力作用，我们就可以从实验结果中看到细微的区别，因为飞船前部离星球更远，我们感受到的引力作用会弱一些。这个说法完全正确，但是它不符合等效原理，因为等效原理要求在太空中选择一个点，然后讨论该点的情况，而不允许我们在飞船中四处走动。
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在这艘想象的飞船上，我们还可以做另外一个极其重要的实验。假设我们把狭义相对论实验中使用的光钟带上了飞船。我们知道，当飞船以稳定的速度飞行时，在飞船上的人看来，光钟没有移动，光束也不会受到任何影响，而是继续在两个镜面之间上下传播。现在，假设我们打开飞船的引擎，让飞船不再以恒定速度相对地球运动，而是开始加速。即使身处飞船内部，我们也能感受到飞船在加速。当光从顶部镜面反射到底部镜面时，飞船上的乘客可以看出光的传播路径发生了变化。
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这个现象非常有趣，表明伽利略的“无法通过实验区分”相对性的断言在加速度条件下是不成立的。但是，我们无须光学实验就可以知道他的说法不对。我们的身体能感受到加速度的效应，我们还可以在手机上安装一个加速度计。但是，等效原理可以告诉我们一些更有趣的事情。我们已经知道，如果飞船加速运动，光的传播路径就会改变。既然如此，如果飞船在引力场中，肯定也会出现同样的现象。爱因斯坦由此意识到万有引力的一个基本特性：物质具有弯曲时空的能力。具有质量的物质可以使时空弯曲，因此，我们看到本来应该直线传播的光束的路径发生了变化。
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这些话听上去似乎有点儿耳熟。还记得绕地球运转的空间站吗？空间站沿着地球切线的方向飞行，飞行路线也是直线。本来，空间站应该会飞离地球，进入太空，但是地球质量使时空发生了弯曲，于是空间站的飞行路线也随之弯曲，并形成了轨道。因此，当飞行物遇到巨大物体时，飞行路线会发生弯曲。但是，静止的物体（例如苹果）为什么会突然加速落到地面上呢？这里，我们需要了解一个重要的事实：发生弯曲的不是空间，而是时间。尽管苹果在空间中保持静止，但在时空中却不是静止的，因为时间一直在滴滴答答地流逝。也就是说，苹果加速掉落是时间弯曲的结果。
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这些解释可以帮助我们了解广义相对论，但是目前还没有涉及相关数学知识。知道这些内容可以让我们对广义相对论有一个粗浅的了解，但还不足以让我们将它应用到科学研究中。爱因斯坦擅长运用有限的数学工具，把思想实验的情况直观地表现出来，然后添加大量的数学内容，明确这个思想实验可能产生的结果。在研究广义相对论时，添加数学内容的工作持续了几年时间，其中大部分工作是在1911年（因为对量子理论的研究让爱因斯坦痛苦不堪，所以他决定暂时停止这项研究）至1915年完成的。
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爱因斯坦面临的第一个问题是，他需要摆脱欧几里得2 000年前深入讨论的几何学（参见第4章）。我们知道，古希腊人是在一个平整的表面上研究毕达哥拉斯定理与欧几里得几何定理的。他们认为这些都是理所当然的，以至于不愿意花费力气把它们表述成公理。但是，稍加考虑，我们就会发现这个假设条件有点儿奇怪。别的不说，单是真正平整的表面，古代就比现代少得多。柏拉图的完美原型自然可以做到真正平整，但是它们投射到现实世界的山洞中的阴影则不可避免有瑕疵。古希腊人规定了几何学研究的直线与现实世界不同，且没有粗细之分，但是没有任何人明确地表述过平整表面这个假设。
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让我们感到奇怪的另外一个原因是，古希腊人知道地球不是平的，但他们还是一如既往地做出了相反的假设，也就是说，他们假设地球是平的。在中世纪之前，人们普遍认为平坦的地球是标准模型，但与此同时，所有受过教育的人都认为地球只能是一个球体，而且早在古希腊时代，人们就已经证明了这一点。因此，尽管几何学令古希腊人深感自豪，尽管它的名字包含“测量地球”之意，但是在研究地球的曲面时，这门科学其实并不适用。
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前文说过，垂直于赤道的平行线相交于地球两极。这已经反映出几何学的问题了，如果我们再考虑三角形这个最常见的几何图形，就可以更加清楚地看出这个问题。欧几里得的《几何原本》（卷一）的第32个命题告诉我们：“在任意三角形中，如果延长一边，则外角等于另两个内角之和，而且三角形的三个内角和等于两个直角的和。”换成我们熟悉的语言就是，欧几里得认为，三角形的三个内角和等于180度。
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在欧几里得精心搭建的几何系统中（别忘了，在这个命题之前，还有31个其他命题），这个命题肯定是对的，不容置疑。可是，一旦离开了平整的表面，它就不成立了。在地球这个等球体上（地球至少是一个近似球体），与直线相对应的是大圆。显然，球面上的所有线不可能在所有三个维度上都是直线。事实上，所有线都是弯曲的，曲率与地球表面相同。大圆是指围绕地球表面且圆心与地球球心重合的所有曲线。
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我们可以做一个简单的实验，利用大圆构建一个三角形，就可以彻底推翻欧几里得几何学。我们从赤道这个大圆上取两个不重合的点，然后从这两个点开始，向北极方向各作一条与赤道成90度角的直线（分别与另一个大圆重合）。这两条直线将在北极相交，并构成一个夹角。赤道上两点之间的距离越大，两条直线在北极形成的夹角就越大。接下来，我们计算这个三角形的内角和。赤道上的两个角各为90度，第三个角的度数还不确定，但它们的和肯定超过180度。事实上，如果赤道上两点之间的距离为10 000千米（约等于赤道至北极的距离。千米这个单位当时就是通过这个方法定义的），这个三角形就是一个等边三角形，三条边的长度都相等。此时，三个内角都是90度，因此这个三角形的内角和是270度。
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由此我们知道，爱因斯坦在计算广义相对论中的时空曲率时，是无法使用欧几里得几何定理的，因为他使用的数学工具必须可以处理曲面。更令人吃惊的是，他甚至还要处理四个维度（包括三个空间维和一个时间维）全部弯曲的情况。爱因斯坦的朋友马塞尔·格罗斯曼为他提供了一个解决方案：德国数学家伯恩哈德·黎曼创立的当时最先进的弯曲空间几何学。
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此时，爱因斯坦的研究成果已经引起所有人，尤其是德国杰出的数学家戴维·希尔伯特的注意。希尔伯特曾邀请爱因斯坦到他任教的哥廷根大学做报告。之后，他对爱因斯坦的关注度进一步提高。当时，爱因斯坦的研究仍然有几个不完善的地方，希尔伯特似乎认为，他应该赶在爱因斯坦之前完成改进工作。事实上，尽管爱因斯坦先于希尔伯特发表了第一篇完整的广义相对论论文，但人们一度认为希尔伯特率先完成了那些方程，只不过他发表论文的时间晚于爱因斯坦。后来，人们发现希尔伯特的原始论文本身存在若干缺陷，他在看到爱因斯坦的论文之后才进行了修改，因此首发权仍然应该归属于爱因斯坦。
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无论第一个完成这项工作的人是谁，第一个着手研究广义相对论的人毫无疑问是爱因斯坦。与牛顿和莱布尼茨在微积分开创者问题上的纷争不同，爱因斯坦与希尔伯特并没有相互指责，希尔伯特还大度地承认这是爱因斯坦的杰作。整个研究成果可以用一个看起来十分简单的方程表示：
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Gµv+Λgµv= (8πG/c4)Tµv
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除了光速的四次幂以外，整个方程看起来似乎非常简单，但是那些带有µv下标的参数都不是简单的变量，而是爱因斯坦从黎曼研究成果中借鉴而来的张量——一种功能强大但是难以操作的数学工具。张量可以把不同数值、矢量以及其他张量之间的多维关系压缩成一个单项。这个单项看似非常简单，但是其背后隐藏着一个变量矩阵。把引力场方程中的张量展开，将会变成10个基本微分方程，而且其中涉及的值会根据在空间和时间中的位置不同而发生变化。
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牛顿的万有引力理论包含一个简单的基本方程（牛顿本人并没有使用这个方程）：
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F=Gm1m2/r2
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整个方程只涉及常数G、两个天体的质量与它们之间的距离（r）。爱因斯坦的方程也有G，但是其他需要考虑的因素远不只是质量的影响作用，尽管质量非常重要。其中一个关键因素是，物体质量不固定且随着运动发生变化（根据狭义相对论）。能量可以增加质量。后来，爱因斯坦还证明了能量也可以增加引力。质量的效应则主要是使时间发生弯曲。
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与此同时，空间也会发生弯曲。宇宙飞船加速时导致光束弯曲的根本原因就是空间弯曲。与时间不同，空间弯曲需要考虑所有三个维度，每个维度上有两个方向，因此爱因斯坦需要考虑的因素又多了六个。此外，他还要综合考虑一些稀奇古怪的东西，例如惯性系拖曳效应（由于相对性效应，运动物体会产生一个垂直于运动方向、强度不大的引力）。爱因斯坦需要考虑的最后一个问题是，引力会产生某种形式的能量（某些物体，如高山上的石头，因为位于引力场的高处而具有势能）。我们已经知道，能量可以产生引力。于是，它们就会形成一个小的反馈回路，引力又摇身一变成了一个引力源。
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