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与狭义相对论不同，广义相对论使用的是寻常人并不熟悉，甚至永远也不会熟悉的数学知识。事实证明，这些复杂方程的求解极富挑战性。尽管在特例中解这些方程并非难事，但是它们没有一般性解法。麦克斯韦通过求解复杂方程，预测到电磁波这个意想不到的物理实体的存在，这是人们利用数学工具进行类似预测的早期实例。现在，根据广义相对论方程，人们又预测到黑洞的存在。
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黑洞这个概念要追溯至18世纪。当时，英国天文学家约翰·米歇尔发现，如果天体的质量足够大，它的逃逸速度（摆脱该天体引力必须具备的速度）就会非常快，甚至能超过光速，因此光也有可能无法从这种暗星上逃逸。后来，德国物理学家卡尔·史瓦西受到爱因斯坦相对论的影响，重新提出这个概念，那时米歇尔的研究早已被人们遗忘了。
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史瓦西提出这个概念的时间是1916年，当时他正在参加第一次世界大战，而相对论也只发表了几个月。此时，爱因斯坦本人仅仅求得了部分近似解，做出水星轨道是变化的这个可以检验的预测。但是，躲在战壕里的史瓦西却得到了黑洞这个特例的精确解，指出星体耗尽支撑其重量的燃料之后，就会因为无法抵抗自身引力而坍缩，最终变成黑洞。
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但是，史瓦西并没有把他的预测结果称作“黑洞”，这个名词直到20世纪60年代才出现。人们通常认为黑洞这个名称是约翰·惠勒发明的。虽然惠勒肯定是最早使用这个名称的科学家之一，但是第一个想出这个名词的人似乎不是他。1964年1月，在美国科学促进会的一次会议上，有人开始传播这个术语，但这个人不是惠勒。随后，安·尤因在《科学简讯》上发表了一篇介绍这次会议的文章，把这个术语变成了铅字。也就是说，这个名称源自那次会议，但是无法确定发明者。
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无论黑洞这个名称源自何处，我们都知道黑洞从何而来，答案就是数学。在检验科学模型的有效性时，我们往往会考察它能否预测出当初没有被纳入模型的现实世界的情况。因此，爱因斯坦急匆匆地求得方程的部分近似解，并开始预测水星轨道的特点。不久之后，人们利用日食发生的时机，通过观察从太阳旁边经过的星光，证实了相对论关于引力可导致光束弯曲的预测是正确的。但是，在预测黑洞的存在之前，几乎没有人仅利用模型就预测出一个所有人见所未见，甚至想都没想过的物理实体。
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即使是现在，与其说黑洞是科学研究的对象，还不如说它是数学的产物。天文学家在太空深处观察到很多天体，有间接证据表明，从它们表现出来的特点看，这些天体似乎就是黑洞。尽管这些证据有很强的说服力，但所有证据都只是间接证据。我们从来没有直接观察到黑洞，只是借助数学工具推演出我们在银河系中心可能观察到的那些景象（据猜测，银河系中心有一个无比庞大的黑洞）。这里应用的数学绝对位于现实世界的边界线上，似乎与真实世界存在某种关系，但尚未得到证实。有人（例如马克斯·泰格马克）认为，数学与现实之间的联系永远达不到严丝合缝，如果我们可以近距离分析黑洞，就可以证明这些预测都是错误的。
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尽管相对论的证明工作非常重要，但是在此期间，爱因斯坦还投身于物理学的一个新分支——量子物理领域，并在其中发挥了重要作用。量子物理是一个研究微观世界的物理分支，同样具有革命性意义。20世纪初，原子尚未被视为一种确定存在的实体，而只是一个有用的概念性工具，可用于预测物质有哪些特征。但随后，人们不仅证明了原子的确存在（主要是爱因斯坦的功劳），而且发现原子具有一些看似完全违背自然规律的特征。这实在是一个自相矛盾的悖论，因为自然界主要是由这种量子构成的。
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量子物理非常复杂（它研究的是由原子、电子、光子等粒子构成的微观世界），本书不准备对其进行深入讨论，但是量子物理在其发展过程中得出了两个非常重要的观察结果，可以帮助我们了解数学对于宇宙探索的重要意义。爱因斯坦和丹麦物理学家尼尔斯·玻尔等人是最早进入量子物理领域的科学家。他们很快发现，如果从量子的层级来研究宇宙，就必须抛弃很多关于物质和光的特征的假设。例如，人们早就认为光是一种波，这个假设也已经得到了麦克斯韦的证实。但是，在新兴的量子物理研究领域脱颖而出的大咖们告诉人们，所谓的光波特性，不过就是一个模型。光的确具有类似于波的特性，但它也可以被描述成一堆粒子或者场扰动。
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在解释原子中的电子与光的相互作用时，玻尔受行星绕太阳运行的启发，试图把这些电子放入类似的轨道。尽管这个模型早在20世纪20年代就已经过时了，但是我们仍然可以在几乎所有的原子平面结构图中看到它的身影。玻尔很快就发现自己的这个想法行不通，于是他为这些电子设计了多个轨道，让电子可以在不同的轨道之间跳跃，但是不允许它们停留在轨道中间。我们所熟悉的那些看得见、摸得着的“真实”事物不具有这种特征，但是这些量子却表现出这个特点。
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玻尔的原子研究没有多少实用价值，但激起了一些年轻科学家的兴趣，其中最有名的当属沃纳·海森堡和埃尔温·薛定谔。他们决定在简单的玻尔原子模型的基础上，用数学描绘出量子的相互作用。海森堡更加彻底，他提出的矩阵力学利用纯粹的数学方法，描述量子的特点。他根本不考虑借助模型这种直观表示，而是通过操作矩阵（即数组），摇动手柄，使黑箱模型像麦克斯韦电磁波方程组一样，做出一些重要的预测。
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薛定谔不喜欢这种抽象的方法，因此他利用波这种熟悉的形式，考虑如何建立量子行为的模型。时至今日，薛定谔方程对于我们理解量子物理仍然具有非常重要的意义。它同样属于形式十分简单、实质却十分复杂的方程：
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从数学的角度看，这个方程的某些特点足以让你胆战心惊。首先，该方程使用了–1的平方根i。其次，就像爱因斯坦方程中的张量一样，薛定谔方程中的希腊字母Ψ和戴帽子的Η这两个符号都暗藏玄机。Ψ是描述某个系统本质的波函数，表达式非常复杂，而戴帽子的Η指“哈密顿算符”，表示系统中的能量并将其应用到波函数之中。
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最初，人们以为薛定谔方程中的波函数，或者说该函数值的平方（谢天谢地，终于摆脱了那个让人讨厌的i），表示的是量子在系统中的位置。但是，真如此的话，似乎就可以预言所有量子无时无刻不在扩散，并且越变越大，但是没有实验可以证明这个预测。（谢天谢地，否则我们将身处一个无比奇怪的世界。）再次，人们发现该方程预测的是量子处于某个位置或者系统处于某种状态的概率。
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除了这个方程和令人晕头转向的数学应用，量子理论研究还产出了大量其他成果。例如，将相对论引入量子行为研究的狄拉克方程（它有一个副产品，即预测了反物质的存在），以及在量子理论的基础上发展而成的量子电动力学等。但是，只需要看看海森堡和薛定谔，我们就可以看出科学家在“采撷”数学运算结果而不单纯依靠直接观察的道路上取得了两次重要的突破。
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海森堡在他的矩阵力学中使用了完全数学化的描述方法，薛定谔紧随其后，他的方程把概率纳入其中。爱因斯坦辛辛苦苦地把量子理论带到我们这个世界上，但是在涉及概率之后，他发现在量子这个层级，如果不经过测量，所有的存在都只是一种可能性。例如，如果刚刚没有测量过，就无法确定量子的位置。人们常说，量子在同一时间里的可能位置有两个，但是真实情况似乎更加复杂，展现在人们眼前的是概率织成的一张网。这让爱因斯坦感觉很不舒服，因此他立刻停止了这项研究。
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从本质上讲，量子物理似乎从根本上把现实变成了数学。根据量子理论，如果不是正在测量，关于现实世界的所有观察结果对概率的依赖程度都会很大。乍一看，这与抛硬币似乎没有本质上的不同。在公平的抛硬币游戏中，得到正面与反面的概率通常各占一半。但是，一旦硬币被抛出去，出现某种结果的可能性就是100%，而出现另一种结果的可能性则是0。只不过在硬币落地之前，我们不知道这个结果到底是什么。但是，如果抛出去的是一枚量子硬币，我们得到的就真的只有各占一半的概率，在进行测量并得出结果之前，前面说的那种潜在确定性是不存在的。
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尽管数学概念与真实的量子之间的这种关系似乎不可信，但是多年来已经有大量实验证明了它的真实性。事实证明，“现实世界建立在数学基础之上”的说法属于夸大其词。从某种意义上讲，这个说法已经不像以前那样令人吃惊了。数学仍然是现实的模型，而不是一种绝对的描述。概率与推动现代物理发展的抽象数学不同，它是作为应用数学工具被人们发明出来的。概率源于抛硬币等真实操作的观察结果，只不过在量子物理中，它表现出之前没有的独立性。这并不是说量子就是概率，而是说我们通常只能以概率的形式来描述它们。
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即使在伽利略和牛顿的时代，物理学领域也不时可以看到对称的身影，例如牛顿第三运动定律就描述了一种令人赏心悦目的对称，人们对相对论莫衷一是的态度也形成了一种对称。但是，随着历史的车轮进入20世纪并继续前行，对称展示出新的活力，对科学理论的发展起到显著的推动作用。从此，数学真正地占据了主导地位。
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数学世界的探奇之旅 [:1701011756]
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数学世界的探奇之旅 第14章 诺特：对称之美与隐形恶龙
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科学界和数学界涌现出的伟大女性屈指可数，这不是因为她们在这两个领域的成就比不上男性，而是因为长期以来人们一直认为这两个领域极具挑战性，不适合女性。在这种奇怪观念的影响下，女性被科学和数学拒之门外。如果问20世纪上半叶及之前有哪些女性在数学或科学领域取得过伟大的成就，任何人都有可能提到玛丽·居里、埃达·洛夫莱斯。如果继续追问，他们可能还会提到卡罗琳·赫舍尔，但是他们不大可能说出艾米·诺特。然而，这位德国女数学家仅凭一己之力，就创立了抽象代数理论。具体来讲，诺特明确了对称的重要性。她发现，不仅自然界有大量的对称结构，在很多物理法则的背后也有数学对称的身影。
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