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我们并不一定非得建立一个可身兼数职的普适型数学系统。尽管有人会提出相反的观点，但我仍然认为宇宙的本质不是数学。只不过，某些（并不是大多数）数学内容的基础是现实世界的观察结果。实际上，数学是一个功能强大的工具，可以帮助我们建立宇宙模型，而模型一定有其局限性。在这里，我要再次引用维格纳的话：“我们根本不知道我们的理论为什么如此有效，因此，它们的精确性并不能证明它们的真实性与一致性。”维格纳有力地指出，即使基于数学的理论可以做出有效的预测，也不一定意味着它具有某种价值。
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这个观点似乎非常奇怪。既然数学可以有效地预测未来，为什么否认它是现实世界的精确表达呢？原因在于我们已经发现的一个事实：几乎所有的物理学内容都离不开大量的简单化处理与假设。在我们建立模型时，宇宙黑箱里真实存在的很多元素都有可能被我们忽略。举一个非常简单的例子，下面是一个预测明天早晨太阳是否会升起的计算机程序：
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如果年份<3000
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输出“太阳将会升起”
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否则
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输出“太阳不会升起”
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结束
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这其实是一个数学模型，但大多数人更熟悉计算机程序的逻辑结构，而不熟悉数学的符号结构。我可以告诉大家，在公元3000年之前，这个模型的预测结果都不会有任何错误，但是到了公元3000年，它就会出错（我希望如此）。你也许会说，我输入的具体日期与现实之间没有任何联系。但是，从一定意义上说，这就是我举这个例子的目的所在。我们也不知道自己输入科学模型中的那些常数、公式是否与现实有关联，我们只知道其预测结果与我们观察到的现实非常吻合。但是，这些模型的内容与现实之间的联系，不一定比我编写的那个高度精确但是毫无价值的计算机程序与现实之间的联系更紧密。
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本书谈到了很多了不起的数学家所提出的崭新的、有影响力的数学概念，其中一些概念是作为纯粹数学的推论被提出来的。例如，16世纪，吉罗拉莫·卡尔达诺提出了虚数的设想，当时他并没有考虑虚数会有什么实用价值。但是，在科学家和工程师的手里，虚数变成了一个功能强大的工具。数学家抱着开发一个新的实用方法的目的，有意识地开发出一种数学方法的情况并不多见，其中最显而易见的例子就是微积分的前身——牛顿的流数术。
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为了揭示数学的本质，了解数字是否真实存在，我们可以把数学家视为古时候的铁匠。铁匠的任务是为社会提供工具，为其他行业制造必需的设备。但是，他们也是艺术家，有时还会别出心裁，用金属打造一些用途不太明确的物件。与铁匠相似，数学家也为科学研究提供了大量工具，尽管他们可能对由纯粹数学构成的抽象世界更感兴趣。
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借助数学，科学已经取得了一系列成功，但是我们有理由相信人们在考虑数学的应用性时步子可能迈得太大了。美国物理学家理查德·费曼曾经把那些伪科学家徒有其表的科研活动称作“草包族科学”。但我认为用这个词表达另外一种意义，效果可能更好。据称，20世纪上半叶，美拉尼西亚群岛上的居民由于货机崇拜而将飞机模型与真正的飞机混为一谈（对于货机崇拜这个现象，历史学没有确定的结论，反而是神话传说表现出一副言之凿凿的样子）。我认为，有些科学家同样把他们的模型与现实混为一谈了。
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数学一度被视为帮助我们了解、解释物质世界的工具，但它现在已经成了一个独立的实体。在用数学推演出结果之后，我们会绞尽脑汁地让它们与观察结果一致。例如，数以百计天资聪颖的人正在研究弦论，但是他们的努力很有可能会徒劳无功。物理学教授萨宾·霍森菲尔德称：“在这个过程中，很多物理学家开始相信，仅凭纯粹的（数学）逻辑和一定的美感，就有可能在没有观察结果的前提下提出一条理论。他们肯定认为他们的大脑和宇宙之间存在某种神秘的联系，仅凭思考就可以发现自然律。”
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当然，物理学不是科学的全部，但是在运用数学工具这个方面，其他学科仍然不及物理学。我们已经知道，那些从事心理学等软科学研究的人往往不能得心应手地使用统计学等工具。而且，由于这些工具看似简单，但是常常与直觉相悖，因此他们经常会得出一些错误的结果。有些科学领域还需要进一步加强对数学的了解，以便为观察结果建立合适的模型。但是对于物理学而言，花在“集邮”上的时间或许应该多一点儿，而躲在象牙塔里钻研数学的时间或许应该少一点儿。
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智能手机等日常设备应用了量子技术，其背后理论所涉及的数学知识是99%的人都无法理解的。但是，我们同样需要通过加强对实验的倚重、减弱对数学理论的依赖，建立一些不同的、更容易解释的模型。归根结底，现实世界的科学模型并不全是数学层面的，有的模型还需要反映我们对周围世界的观察结果，以便帮助我们更好地理解现实。建立模型绝对不止一种方法。
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统计学家早就警告我们，相关性不等于因果关系。两个数据集在一段时间里同时发生变化，并不代表它们之间存在因果关系，也不代表未来它们会继续保持这种相关性（要确保相关性持续存在，两者之间就必须存在因果关系）。“二战”之后，英国香蕉进口贸易与妇女怀孕就是有相关性但是没有因果关系的一个经典例子。当时，香蕉进口量增加，英国怀孕妇女的数量也会增加，反之亦然。但是，任何头脑清醒的人都不会认为妇女怀孕的原因是香蕉进口贸易（事实上，这两件事可能都与第三个因素相关）。一般而言，我们遇到的相关性都远没有这个案例那么荒诞不经，因此我们更有可能受到表象的迷惑，误以为存在因果关系。
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不存在因果关系的相关性案例不胜枚举，有一个网站甚至还将这些相关性案例列举出来。这个网站告诉我们，在10年时间里，美国上吊自杀的人数与美国政府拨付给科学研究、空间探索和技术发展等方面的经费之间存在显著的相关性；同一时期，美国缅因州的人造奶油人均消费量与离婚率之间存在显著的相关性。事实上，这些相关性显然毫无意义。然而，如果新闻节目主持人告诉我们政府的新政策导致股市下跌，我们可能根本不会感到惊讶，尽管这种因果关系也只是一个假设而已。
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科学家喜欢在实验室条件下做实验，原因之一就是他们在实验室里可以控制很多在“自然环境中”无法控制的可能变量。在实验室中，因果关系比较容易确定，但是在现实中，发现因果关系的难度要大得多，因为诸多干扰因素会把某个现象的真正原因隐藏起来。
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正因为因果关系难以确定，所以人们很难判断不同的饮食方法到底会对人类健康产生什么影响。例如，科学家可能会注意到大量食用西红柿的人患心脏病的概率低于普通人，但是我们不能就此认为只要多吃西红柿就一定能改善我们的健康状况。我们长期生活在一个异常复杂的世界里，这与控制措施严密的实验室不同。我们将发现，大量食用西红柿的人与那些常吃垃圾食品的人还存在很多其他不同点，其中最重要的不同点或许与西红柿根本没有关系。
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如果我们可以对几千人做实验，控制他们的饮食，那么几个月之后，我们或许可以进行严谨的科学分析。但是，事实上，大多数饮食结构研究都需要综合考虑一系列的差异，操作起来难度很大（往往还需要依赖实验对象极不准确的自我报告），因此很难保证实验结果的精确性。
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在实验室里工作的物理学家无须面临如此恶劣的条件，但是在难以实施控制的科学领域（例如宇宙学），研究人员却会遭遇同样的问题。在实验室中，科研人员也可能遇到异常复杂的情况，或者需要通过非常曲折的方式进行间接观察。例如，在大型强子对撞机项目中，探测器提供的探测结果就非常复杂、极其混乱。在这种情况下，我们很有可能受到诱惑，忍不住使用某种数学方法，原因是这个方法“似乎是正确的”，它给人一种难以抗拒的美感，而不是因为观察结果要求我们必须采用这种数学方法。结果，虽然我们的数学模型可以产生大量与实验结果相吻合的数据，但是模型本身却与现实没有任何联系。对数学的过分依赖，已经引起了若干当代物理学家的关注。
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在科学史上，我们可以找到大量模型与现实脱节的实例，例如，托勒密天文学中使用的本轮系统。这套系统的基本原理是，根据观察结果建立相匹配的数学模型，并对其进行完善。这套系统的应用时间为1 300多年，而且由于不断完善，它与观察结果的吻合度一直非常高。但是，使用这种圆周旋转模型来描述行星的运行方式的做法，并没有充分的科学理由。这个模型基于一个错误的物理假设（地球是宇宙的中心），因此它无法逃脱覆灭的命运。毕竟，即使数学工具给出的答案与观察结果高度吻合也无济于事，因为仅仅得到数学的支持是不够的，数学不可能拥有决定一切的权力。
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数学鸠占鹊巢，把实验挤到了次要位置，这让在著名的圆周理论物理研究所担任主任一职的尼尔·图罗克难以接受。图罗克曾发表了下面这番言论：
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自然为我们提供了这些不可思议的线索，但是我们并没有理解其中的含义。事实上，我们正在做着南辕北辙的努力，导致我们的理论越来越复杂、越来越不自然。我们搬来了更多的场、维度、对称，想尽一切办法解决这个问题，却没有解释最基本的事实。
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实际上，图罗克批评的是人们利用数学来推动科学研究这个现象。从本质上看，数学研究的是真理和事实，这是数学与科学的区别之一。在数学系统里，事实不容置疑。例如，在传统算术中，2加2一定等于4。这是算术法则规定的事实，是由这套数学系统的本质决定的，任何人都不可能找到证据驳斥它。科学家兼科幻作家艾萨克·阿西莫夫说：“随着时间的推移，人类活动的所有领域几乎都会发生显著的变化，这些变化可以被视为修正或者拓展，又或者兼而有之……现在，我们可以看到数学到底有什么独特的地方了。数学这个领域从来没有进行过重大的修正，所有的改变都是拓展。”
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在数学领域，我们必须注意语言的精确性。如果我们换用另一个数基（比如基数为3时，2加2等于11），或者使用第1章里讨论的算术法则（数字不是一直往上增加，而是像钟面一样，达到最大值之后就会从头再来），那么2加2完全有可能得出不同的结果。对于数学家而言，传统算术与钟表算术不存在谁更“真实”的问题，尽管一种算术适用于所有传统实物，而另一种则只能用于处理周期性事件。在传统算术的特定系统中，我们绝不能背离在该系统中发挥基础作用的所有事实。
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