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然而，科学与数学在这方面有所不同。当科学家讨论137亿年前使宇宙开始膨胀的那次大爆炸时，他们描述的内容与我们通过书写2 + 2 = 4这个等式表达的内容有所不同，因为后者是一种事实，而宇宙大爆炸则是根据当前数据建立起来的最可靠的理论。在我创作本书期间，当得起“最可靠”这项殊荣的大爆炸理论至少被修改过三次，每次都是因为有数据证明当前版本是错误的。在未来的某一天，大爆炸理论甚至有可能被全盘否定，并被一个更可靠的理论取代。
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科学一直都是临时性的。科学的目的不是寻找绝对真理，科学的核心要素也不是事实，但这并不是说事实在科学中不重要。科学研究中涉及大量的事实收集任务，也就是遭到卢瑟福诟病的“集邮”工作，部分原因在于很多工作不过是贴上“已成事实”这个标签。很多事实都属于可观测事实，包括我在打字时会使用一个键盘、我的计算机需要电源等事实。当科学提供解释性理论时，我们必须清楚，此时事实已经离我们远去了。比如，当我说光是一种波、一束粒子流，或者量子场的波动时，我描述的其实不是光，而是一个数学理论，或者是在进行类比。我们可以说光或者原子是存在的，也可以创建理论描述它们的本质或者作用原理（因为它们的规模及作用环境与我们可以观察的宏观世界大不相同），但这两者并不是一回事。
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科学家经常忽略甚至忘记科学与真理之间的间接关系，或许是因为这种关系会造成某种危险，让人们以为所有的想法和理论在重要性方面都不相上下。因为我是一名科普作家，所以经常有人向我介绍各种各样的理论，甚至宣称他们已经证明爱因斯坦的相对论是不正确的。还有一些人根本不相信科学，而是对巫术深信不疑，坚信能量可以无中生有，坚信顺势疗法可以治病。但是，在面对多种可能性时，科学没有采取一视同仁的态度。所有人都可以对爱因斯坦的观点提出质疑，但是就目前而言，相对论取得了非常好的效果，除非有新的令人信服的证据可以证明某个理论与实验结果或宇宙观测结果的契合程度更高，否则人们不会转而接受其他理论。要彻底推翻科学，用巫术取而代之，需要更有说服力的数据。
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有人认为科学就是数学，或者数学就是宇宙的本质。尽管其中不乏才高八斗、智力超群之人，但是我认为，从数学与科学本质上的不同可以看出他们都错了。这两个学科，一个学科（数学）包含一系列事实，我们可以根据我们制定的法则确定它们都是事实；另一个学科（科学）则涉及一系列模型和理论，我们可以利用数据测试这些模型和理论，但是绝不可以称之为事实真理。
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在确定数学这门与现实世界脱节的学科应该被赋予的地位时，我们需要考虑一个非常重要的因素。在脱离现实的那个绚丽的世界中，数学家可以编织神奇的魔术，以数学为基础创造出所有事物，但这并不是科学研究应用数学工具的真正目的。我们在第2章提过的数学家理查德·哈明说：
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使用数学工具时，我们都会有所选择。数学工具不是通用的。在发现标量不适合表示作用力之后，我们就发明了矢量这个新的数学工具。接着，又发明了张量……我们根据具体情况选择不同的数学工具，因为同一个数学工具不可能适用于所有情况。
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科学已经取得了辉煌的成就，而且未来的前景更加光明。数学也已被证明是一个功能强大的工具，可以帮助我们建立宇宙模型，还将继续扮演强大工具的角色。在运用得当的情况下，数学仍然是帮助我们理解物理学基本原理、探索宇宙奥秘的最有效方法，但这并不意味着我们可以滥用这个工具。科学界还需要注意另外一个同样重要的问题：不可将模型与现实混为一谈，而要时刻牢记数学世界别有洞天，有时候它像一面镜子，能把现实世界的情况准确地反映出来，但这并不意味着它就是现实。像爱丽丝那样透过镜子就可以造访的数学镜像世界是不存在的。
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某些数字和数学过程毫无疑问是真实的，至少与现实世界的真实物体和行为存在一一对应关系。自然数，即非负整数，肯定源自物理对象，并且与真实物体一样遵循相同的算术法则。人类花费了很长一段时间，才为负整数奠定了同样的理论基础，我们可以在计算电荷的过程中看到它们的身影。随着数学的进一步发展，数学与现实之间的差别越来越明显。例如，虽然分数和几何在现实世界中可以找到与之匹配的对象，但是它们高度精确，这与现实世界的混乱状况迥然不同。我们栖身的这个世界就像柏拉图的山洞一样，不可能找到线条宽度为0的几何图形，而且，由于现实世界是由原子构成的，我们也无法完全等分蛋糕。
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诚然，有时候我们可以把某些东西分成精准的几等分，例如钱，25美分就正好是1美元的1/4。但是，这是因为钱从本质上看是量化的，有现成的分割方法，因此我们可以使用分数。然而，这种办法需要付出数学成本。我们可以精准地得到1美元的1/4，但是我们没有办法精确地得到1美元的1/3。尽管其数学表达非常简单，但是现实中根本不存在这个概念。
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本书从数学专业人士的角度告诉大家，分数和几何学与美轮美奂、光怪陆离的数学世界相比，不过是冰山一角。数学世界无比广袤，即使数学家穷尽毕生精力，也很可能不会有任何真正的发现。但是，有的数学结构与数学机制的确与现实有相似之处。这些数字和程序也许并非真实存在，但是它们仍然可以帮助我们找到问题的答案。
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尽管数学可以脱离现实，但是我们必须让实用数学建立在物质世界的基础之上，使科学可以被所有人接受。那么，数字到底是不是真实存在的？我认为，数字从最基本的意义上看确实是真实存在的，但是大多数的数学内容则与之相反。数学就是一个梦幻世界，有时与我们身边的这个世界非常相似，是这个世界的完美反映，可以作为我们理解现实世界的工具。但是，所有的数学工具都必须恰当运用。只要我们（以及科研人员）牢记这一点，就不会犯下大错。
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数学世界的探奇之旅 致谢
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感谢圣马丁出版社每个为本书的出版做出努力的人，这其中包括迈克尔·霍姆勒、劳伦·雅布隆斯基。同时也感谢每个帮助我思考数学与科学之间关系的人，包括牛津大学知名教授阿德里安·穆尔。他之所以研究哲学，我之所以对数学和无穷大产生兴趣，都是因为受到了同一个人的启发——曼彻斯特文理学校的尼尔·谢尔登。
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数学世界的探奇之旅 注释
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第1章 虚拟的“居民”？[1]
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数学世界的探奇之旅 第2章 史前人类的计数系统
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