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在确定数学这门与现实世界脱节的学科应该被赋予的地位时，我们需要考虑一个非常重要的因素。在脱离现实的那个绚丽的世界中，数学家可以编织神奇的魔术，以数学为基础创造出所有事物，但这并不是科学研究应用数学工具的真正目的。我们在第2章提过的数学家理查德·哈明说：
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使用数学工具时，我们都会有所选择。数学工具不是通用的。在发现标量不适合表示作用力之后，我们就发明了矢量这个新的数学工具。接着，又发明了张量……我们根据具体情况选择不同的数学工具，因为同一个数学工具不可能适用于所有情况。
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科学已经取得了辉煌的成就，而且未来的前景更加光明。数学也已被证明是一个功能强大的工具，可以帮助我们建立宇宙模型，还将继续扮演强大工具的角色。在运用得当的情况下，数学仍然是帮助我们理解物理学基本原理、探索宇宙奥秘的最有效方法，但这并不意味着我们可以滥用这个工具。科学界还需要注意另外一个同样重要的问题：不可将模型与现实混为一谈，而要时刻牢记数学世界别有洞天，有时候它像一面镜子，能把现实世界的情况准确地反映出来，但这并不意味着它就是现实。像爱丽丝那样透过镜子就可以造访的数学镜像世界是不存在的。
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某些数字和数学过程毫无疑问是真实的，至少与现实世界的真实物体和行为存在一一对应关系。自然数，即非负整数，肯定源自物理对象，并且与真实物体一样遵循相同的算术法则。人类花费了很长一段时间，才为负整数奠定了同样的理论基础，我们可以在计算电荷的过程中看到它们的身影。随着数学的进一步发展，数学与现实之间的差别越来越明显。例如，虽然分数和几何在现实世界中可以找到与之匹配的对象，但是它们高度精确，这与现实世界的混乱状况迥然不同。我们栖身的这个世界就像柏拉图的山洞一样，不可能找到线条宽度为0的几何图形，而且，由于现实世界是由原子构成的，我们也无法完全等分蛋糕。
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诚然，有时候我们可以把某些东西分成精准的几等分，例如钱，25美分就正好是1美元的1/4。但是，这是因为钱从本质上看是量化的，有现成的分割方法，因此我们可以使用分数。然而，这种办法需要付出数学成本。我们可以精准地得到1美元的1/4，但是我们没有办法精确地得到1美元的1/3。尽管其数学表达非常简单，但是现实中根本不存在这个概念。
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本书从数学专业人士的角度告诉大家，分数和几何学与美轮美奂、光怪陆离的数学世界相比，不过是冰山一角。数学世界无比广袤，即使数学家穷尽毕生精力，也很可能不会有任何真正的发现。但是，有的数学结构与数学机制的确与现实有相似之处。这些数字和程序也许并非真实存在，但是它们仍然可以帮助我们找到问题的答案。
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尽管数学可以脱离现实，但是我们必须让实用数学建立在物质世界的基础之上，使科学可以被所有人接受。那么，数字到底是不是真实存在的？我认为，数字从最基本的意义上看确实是真实存在的，但是大多数的数学内容则与之相反。数学就是一个梦幻世界，有时与我们身边的这个世界非常相似，是这个世界的完美反映，可以作为我们理解现实世界的工具。但是，所有的数学工具都必须恰当运用。只要我们（以及科研人员）牢记这一点，就不会犯下大错。
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数学世界的探奇之旅 致谢
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感谢圣马丁出版社每个为本书的出版做出努力的人，这其中包括迈克尔·霍姆勒、劳伦·雅布隆斯基。同时也感谢每个帮助我思考数学与科学之间关系的人，包括牛津大学知名教授阿德里安·穆尔。他之所以研究哲学，我之所以对数学和无穷大产生兴趣，都是因为受到了同一个人的启发——曼彻斯特文理学校的尼尔·谢尔登。
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数学世界的探奇之旅 注释
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第1章 虚拟的“居民”？[1]
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数学世界的探奇之旅 第2章 史前人类的计数系统
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数学世界的探奇之旅 第3章 毕达哥拉斯：万物皆是数字
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