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21.在三边形中，直角三角形是指其有一个直角，钝角三角形是指其有一个钝角，锐角三角形是指其有三个锐角。
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22.在四边形中，正方形是指其等边且四角都为直角，长方形是指其四角为直角但不是等边，菱形是指其等边但没有直角，平行四边形是指其对边和对角都分别相等但不是等边且不是直角，其余的四边形叫做不规则四边形。
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23.平行线是指一平面上的两条直线，它们朝两个方向无限延伸而永不相交。
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公设
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1.从任意一点到任意另外一点可作一条直线。
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2.可从一条直线上连续地取出有限长直线（段）。
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3.可以用任意圆心和半径作圆。
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4.所有的直角都相等。
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5.若一条直线与另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
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公理
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1.与同一个事物相等的事物彼此相等。
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2.等量加等量，其和仍相等。
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3.等量减等量，其差仍相等。
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4.彼此重合的事物彼此相等。
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5.整体大于部分。
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现在我们来看“对顶角相等”的证明给我们带来的震撼。
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定理 如图2.3.4，两条直线相交，那么角A等于角B。
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这太简单了！一眼就看出来了！
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这还要证明吗？那不是自找麻烦吗？
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然而，在《几何原本》中，“对顶角相等”是命题15。证明如下：A+C是平角，B+C也是平角，然后根据公理3（“等量减等量，其差仍相等”），所以A=B。
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据历史考证，最早使用这一方法的是公元前7世纪古希腊数学家泰勒斯。这里，重要的价值不在于“对顶角相等”的命题本身，而在于泰勒斯提供了不凭直观和实验的逻辑证明。弄清要不要证明才是关键。
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古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主民主政治。由男性公民组成的民众大会有权制定法律，处理财产、祭祀、军事等问题（注意：广大的奴隶、妇女、外来人不能享受民主权利）。奴隶主的民主政治和皇帝君王独裁的政治，是有所区别的。古希腊的奴隶主民主政治，彼此间的不同意见需要用理由说服对方，于是学术上的辩论风气随之兴起。为了证明自己坚持的是真理，就需要证明。于是，古希腊的学术不仅要解决真理“是什么（what）”的问题，还要回答“为什么（why）”的问题，“唯理论”的学术风气很盛。
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在这样的政治文化氛围中，数学也就不仅要回答“什么是数学真理”，还必须回答“为什么”它是数学真理。于是“对顶角相等”命题的证明就是可以理解的了。试想：为了证明自己的学问是真理，先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后使要陈述的命题成为公理的逻辑推论，岂不是很有说服力吗？
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