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▲ 图2.3.4 对顶角相等
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重要的几何命题是世界各国都有的。比如，中国很早就发现了勾股定理，古希腊称之为毕达哥拉斯定理。中国为了说明勾股定理的正确，也讲“为什么”，使用了“出入相补”原理，用拼接的方法加以证明。但是，中国的古代数学，多半以“官方文书”的形式出现，目的是为了丈量田亩、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。虽然中国古代社会也说理，却没有古希腊那样的“自由学术辩论”，唯理论没有形成大的风气。因此，中国古代没有用公理方法进行学术探讨的传统。文化上的差异，导致了数学上的分别。
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对于古希腊用公理化体系表达科学真理的方法，后人称它为“理性思维”的一种最高形式。这一点，中国传统文化比较薄弱和欠缺。我们应当实行“拿来主义”，认真加以学习和体会，努力提高我们的思维能力。数学是体现理性思维最好的载体。所以，我们学习数学，不仅要记住定义和定理，更重要的是能学会这种理性思维的方法。
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但是话说回来，我们不能事事、时时使用公理化的逻辑思维方法。那会成为书呆子的。我们仍然应当重视自己的直观观察能力，运用测量、估计的手段，使用物理的、化学的实验方法，采用各种证据来说明自己所主张的结论是科学的真理。公理化方法，只是其中的一种（然而是十分重要的一种）而已。
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直观和理性，是整个思维过程的两个方面，相辅相成。
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数学文化教程 第四节 黄金时代：从牛顿到高斯
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欧洲中世纪的漫漫长夜逐渐过去，历史的车轮滚滚向前。数学的巨人不断出现，形成了连绵的科学高峰。当中国的明清两代皇帝坐稳江山的时候，科学落后的祸根已经埋下。抚今追昔，“科学是第一生产力”的论断，似乎更加清晰了。
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牛顿（Isaac Newton，1642—1727，图2.4.1）的生平，我们将在后面提到。这里先介绍牛顿所面临的数学问题。
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◀ 图2.4.1 牛顿
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借助于17世纪法国哲学家、数学家笛卡儿（Rene Descartes，1596—1650）于1637年提出的坐标几何的概念，曲线、方程、函数等概念得到了完美的统一。大家知道，二次函数可以表示匀加速运动的距离s和时间t之间的关系。我们就从观察抛物线函数y=x2的性质说起。
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见图2.4.2，通过观察我们发现，研究曲线的切线有助于研究图像本身。在y=x2的顶点（x=0处），切线平行于x轴，斜率为零；在顶点的左边，函数值随x的增加而减少，与此相应的切线的斜率一直是负的；而在曲线顶点的右边，函数值随x的增大而增大，这时的切线斜率是正的。这样一来，如果能够把函数图像的切线斜率计算出来，函数本身的性质就可以得到进一步的了解。正是这样创新的想法，导致了微积分的产生。
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这是石破天惊的科学事件。牛顿概括前人的成果，完成了微积分学的创立，并且把力学用微积分方法重新加以整理，成为物理学的工具。世界上的物体运动状态的改变，无非是力的作用：重力、热力、电力、原子核力等。这样，大到天体运行，小到电子旋转，微积分成为刻画运动的基本工具。数学对于人类的价值，由此可以想见。
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和牛顿同时研究微积分的还有德国的莱布尼茨（Gottfried Wihelm Leibnitz，1646—1716）。他的微积分研究从几何出发，与牛顿殊途同归。从现有文献来看，牛顿在微积分的研究上比莱布尼茨早一些，但是莱布尼茨发表微积分论文的年代却比牛顿要早些。位于英伦海岛上的英国人和位于欧洲大陆的德国人曾为微积分的发明优先权争得不可开交，英国人甚至不愿和欧洲大陆的数学家来往，结果是英国人在牛顿之后缺乏大数学家。实际上，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明人，都对人类做出过巨大的贡献。谁早谁迟不必过分计较，而意气用事更不足取。英国人为争微积分发明权作茧自缚，吃亏的是自己。
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▲ 图2.4.2 抛物线切线的变化
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18世纪的数学家在牛顿和莱布尼茨的基础上创造了许多辉煌的数学成就。其中欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）是最多产的数学家，他先后在瑞士和俄国工作，著作累累，不及备述。
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1789年，法国发生大革命，工业发展，科学昌盛，世界数学中心也转至法国。法国巴黎高等师范学校、巴黎高等工业学校等，产生了大批的杰出数学家，如拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813）、勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752—1833）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749—1827）、柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789—1857）、傅里叶（Joseph Fourier，1768—1830）、蒙日（Gaspard Monge，1746—1818）等，都是顶尖的数学大师。
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到了19世纪，德国的资产阶级兴起，在数学上的代表人物则是高斯。
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高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855，图2.4.3）是全能数学家，数论、分析、几何、代数、概率等领域，都有他的足迹。一个家喻户晓的故事，说从1加到100是多少？少年高斯看出那是50个101，结果是5050。这个故事对于说明数学的魅力，很有价值。高斯的另一个著名工作是首先证明，任何一个n次代数方程在复数域内必有n个根。高斯曲率、高斯消去法、高斯最小二乘法、高斯整数、高斯曲面……以高斯命名的数学名词数不胜数。
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最值得提起的是高斯发现非欧几何。19世纪30年代，俄国的罗巴切夫斯基（Nikolas Ivanovich Lobachevsky，1792—1856）和匈牙利的波里埃（János Bolyai，1802—1860）都先后发现了“过平面上一点有多于一条直线与一给定直线平行”的几何。他们通过各种方式宣布或写成论文发表。其实，高斯早已发现这种几何，只是害怕众人不能接受，不敢公布。就这点而言，高斯太胆小了。
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