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◀ 图2.4.1 牛顿
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借助于17世纪法国哲学家、数学家笛卡儿（Rene Descartes，1596—1650）于1637年提出的坐标几何的概念，曲线、方程、函数等概念得到了完美的统一。大家知道，二次函数可以表示匀加速运动的距离s和时间t之间的关系。我们就从观察抛物线函数y=x2的性质说起。
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见图2.4.2，通过观察我们发现，研究曲线的切线有助于研究图像本身。在y=x2的顶点（x=0处），切线平行于x轴，斜率为零；在顶点的左边，函数值随x的增加而减少，与此相应的切线的斜率一直是负的；而在曲线顶点的右边，函数值随x的增大而增大，这时的切线斜率是正的。这样一来，如果能够把函数图像的切线斜率计算出来，函数本身的性质就可以得到进一步的了解。正是这样创新的想法，导致了微积分的产生。
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这是石破天惊的科学事件。牛顿概括前人的成果，完成了微积分学的创立，并且把力学用微积分方法重新加以整理，成为物理学的工具。世界上的物体运动状态的改变，无非是力的作用：重力、热力、电力、原子核力等。这样，大到天体运行，小到电子旋转，微积分成为刻画运动的基本工具。数学对于人类的价值，由此可以想见。
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和牛顿同时研究微积分的还有德国的莱布尼茨（Gottfried Wihelm Leibnitz，1646—1716）。他的微积分研究从几何出发，与牛顿殊途同归。从现有文献来看，牛顿在微积分的研究上比莱布尼茨早一些，但是莱布尼茨发表微积分论文的年代却比牛顿要早些。位于英伦海岛上的英国人和位于欧洲大陆的德国人曾为微积分的发明优先权争得不可开交，英国人甚至不愿和欧洲大陆的数学家来往，结果是英国人在牛顿之后缺乏大数学家。实际上，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明人，都对人类做出过巨大的贡献。谁早谁迟不必过分计较，而意气用事更不足取。英国人为争微积分发明权作茧自缚，吃亏的是自己。
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▲ 图2.4.2 抛物线切线的变化
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18世纪的数学家在牛顿和莱布尼茨的基础上创造了许多辉煌的数学成就。其中欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）是最多产的数学家，他先后在瑞士和俄国工作，著作累累，不及备述。
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1789年，法国发生大革命，工业发展，科学昌盛，世界数学中心也转至法国。法国巴黎高等师范学校、巴黎高等工业学校等，产生了大批的杰出数学家，如拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813）、勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752—1833）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749—1827）、柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789—1857）、傅里叶（Joseph Fourier，1768—1830）、蒙日（Gaspard Monge，1746—1818）等，都是顶尖的数学大师。
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到了19世纪，德国的资产阶级兴起，在数学上的代表人物则是高斯。
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高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855，图2.4.3）是全能数学家，数论、分析、几何、代数、概率等领域，都有他的足迹。一个家喻户晓的故事，说从1加到100是多少？少年高斯看出那是50个101，结果是5050。这个故事对于说明数学的魅力，很有价值。高斯的另一个著名工作是首先证明，任何一个n次代数方程在复数域内必有n个根。高斯曲率、高斯消去法、高斯最小二乘法、高斯整数、高斯曲面……以高斯命名的数学名词数不胜数。
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最值得提起的是高斯发现非欧几何。19世纪30年代，俄国的罗巴切夫斯基（Nikolas Ivanovich Lobachevsky，1792—1856）和匈牙利的波里埃（János Bolyai，1802—1860）都先后发现了“过平面上一点有多于一条直线与一给定直线平行”的几何。他们通过各种方式宣布或写成论文发表。其实，高斯早已发现这种几何，只是害怕众人不能接受，不敢公布。就这点而言，高斯太胆小了。
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◀ 图2.4.3 高斯
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在高斯之后有黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866）、克莱因（Felix Klein，1849—1925）、希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）等人，使德国在20世纪初成为世界数学中心。
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数学文化教程 第五节 信息时代的数学——20世纪世界数学中心的变迁
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一部近代世界史表明：世界经济军事大国一定也是数学文明的发源地。17世纪的英国爆发资产阶级革命，牛顿的微积分诞生在英伦三岛。18世纪法国大革命催生拿破仑帝国，法国数学学派称雄欧洲。19世纪中叶，德国资产阶级崛起，数学王子高斯带来德国数学的辉煌。到了20世纪的开头，国际数学界形成法国与德国数学争雄的格局。那时的美国尚未称霸世界，数学也处于二流水平。到了20世纪的中叶以后，则是美国数学与苏联数学对决的年代了。清代学者赵翼有诗云：“江山代有才人出，各领风骚数百年。”在数学界，能领先数百年是不可能的，能当几十年的霸主就很不容易了。
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1900年，第二届国际数学家大会在巴黎召开。法国的庞加莱任大会主席，德国的希尔伯特作大会报告。这反映了法、德两国在国际数学的领导地位依然平分秋色。
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庞加莱（Henri Poincaré，1854—1912，图2.5.1）是一位牛顿式数学家，关注天文学、物理学等自然科学中的数学问题，开创了定性理论、拓扑学等许多影响深远的新学科。庞加莱于1912年去世。法国数学渐渐走下坡路。不久前披露的档案表明，鉴于庞加莱的数学工作大气磅礴，在证明的严密性上有时不甚讲究，法国同行（包括他的导师皮卡）颇有非议。结果是权威的领导决定不让庞加莱教数学课，只能教天文学和物理学。20世纪20年代的法国数学，逐渐远离庞加莱的数学路线，研究领域缩小到纯粹数学中狭小的一块，简直成了“函数论王国”。于是一批年轻的数学家开始向德国格丁根学派学习，继承发扬希尔伯特的数学传统，努力走出函数论王国的圈子。这就是著名的布尔巴基（Bourbaki）学派。20世纪法国数学的这一亮点，使得德国希尔伯特形式主义成为一时的时尚。布尔巴基学派的结构主义的数学，曾经在20世纪50年代前后领导世界数学潮流，风靡一时。
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希尔伯特（图2.5.2）是一位全才的数学大师，曾有证据显示他和爱因斯坦各自独立地提出了广义相对论。不过，希尔伯特更以纯粹数学的创见、提倡形式主义的数学哲学而著称，可以说更具欧几里得那样的古希腊数学的特色。