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▲ 图2.5.1 庞加莱
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▲ 图2.5.2 希尔伯特
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希尔伯特赢得了很高的声誉。他在国际数学家大会上提出了20世纪将要解决的23个问题，引无数英雄竞折腰。能够解决其中一个问题都是极高的荣誉（著名的哥德巴赫猜想是第8问题的一部分）。希尔伯特引导的现代公理化数学思潮，成为人类数学文明的又一个高峰。
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20世纪的前30年，世界数学中心在德国的格丁根大学。那里曾是高斯、黎曼等大数学家工作的地方，以后则是希尔伯特为首的格丁根数学学派大本营。爱因斯坦发表相对论时，这里的闵可夫斯基就发展四维的时空几何。量子力学刚刚形成，外尔的《量子力学的数学基础》立即在格丁根问世。当过希尔伯特助教的冯·诺依曼，则建立起希尔伯特空间上的算子谱论，成为量子力学的数学框架。近代史上伟大的女数学家诺特在这里发表影响深远的“一般理想论”，开创抽象代数的先河。那时的欧洲，还从未有过女性的教授。希尔伯特为此忿忿不平：“大学评议会不是浴室，为什么不准妇女进入？”
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1933年的那个黑色的春天，立即把格丁根的辉煌葬送了。希特勒上台迫害犹太人，驱逐犹太籍的科学家。爱因斯坦是犹太人，冯·诺依曼、诺特都是犹太人，外尔的太太是犹太人，格丁根数学研究所的所长柯朗也是犹太人。他们先后被迫前往美国的普林斯顿和纽约，美国也因此成为新的世界数学中心。
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在20世纪初，像爱迪生那样的美国发明家领导着先进技术的世界潮流，经济实力已经达到世界前列。但是基础科学的水平还远落在欧洲后面。美国学生到欧洲学习数学，是普遍的现象。
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1930年，一位零售业富商，想捐款建造一所医学院，造福社会。当时的科学名流富莱斯纳告诉他，这些钱造一所医学院是不够的，而且纽约附近的医学院已经足够多。如果设立一个以数学为主的研究院，投资较少，而且美国正需要这样的基础性研究。这样，普林斯顿高等研究院便开始筹备。富莱斯纳到欧洲，请来爱因斯坦、外尔、冯·诺依曼三位顶尖的数理科学家，加上美国本土的三位数学家，强大的阵容一下子就把普林斯顿的学术声誉推到云端。诺特在普林斯顿附近的一所女子学院任教，柯朗则在纽约大学工作。大批的数学家难民从欧洲来到美国，造就了美国的数学辉煌。
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冯·诺依曼（图2.5.3）来到普林斯顿高等研究院时只有26岁。他不仅在纯粹数学和应用数学上独树一帜，更伟大的创造是用数理逻辑方法设计数字电子计算机的方案。这一使用至今的科学精品，不仅是数学的骄傲，更是人类文明的里程碑。美国本土出生的数学家也有杰出的成就，尤其是应用数学方面。例如，首创控制论的维纳，提出信息论的仙农，都是划时代的数学英雄。
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差不多也在20世纪30年代，另一个世界数学中心出现在莫斯科。大数学家欧拉曾在俄国工作多年，数学的积淀很深。1917年十月革命胜利之后，国家经济一度十分困难。人们都在期待“面包会有的，牛奶也会有的”。可是，苏联的科学政策保证了科学研究的优先发展，数学家们可以经常出国访问，特别是到德国的格丁根大学。例如苏联的天才数学家
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▲ 图2.5.3 冯·诺依曼和他设计的计算机
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乌雷松访问德国和法国之后，因在海边游泳时溺水去世，时年仅26岁。苏联的莫斯科大学有鲁金为首的数学学派，起先以函数论为主，以后全面出击，泛函分析、变分学、概率论、集合论、偏微分方程等学科，都有一流成果展现。
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鲁金是沙俄时代留下来的数学家，在历次政治运动中倒也平安。据说斯大林曾经出面“保”过鲁金。鲁金招收了许多具有数学天才的年轻学者。其中尤以P ·亚历山大罗夫和A · H ·科尔莫戈罗夫（图2.5.4）两人最为杰出，前者是世界拓扑学先驱，后者是20世纪少有的全能数学家。第二次世界大战期间，科尔莫戈罗夫建立火炮自动跟踪技术，和维纳同时创立控制论。到了20世纪50年代，苏联数学可以和美国数学全面抗衡。
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冷战时代苏美在军事上争霸，在数学上也处于彼此争雄的年代。不过，两国的数学家之间还是相当友好（难免有些小的摩擦），大家都统一在国际数学家联盟的数学大家庭中间。
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自从电子计算机问世以来，数学更趋向于应用。一张纸、一支笔、一个脑袋的研究方法，已经由于计算机的介入而被打破。美国和苏联在军备竞赛中投入了大量的人力物力，也作了大量的数学投资，这就刺激和带动了数学科学的进步。美国和苏联的数学技术也长期在世界上继续领先。
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▶ 图2.5.4 科尔莫戈罗夫
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1991年苏联解体和东欧政治变化之后，莫斯科数学中心的地位大为下降。一些优秀的苏联、东欧数学家相继到西方工作。最突出的例子是苏联数学大师盖尔范德（Izrail Moiseevich Gelfand，1913—2009），曾以80岁高龄接受了美国罗格斯大学之聘。还有当代几何大家格罗莫夫（Mikhail Leonidovich Gromov，1943—）先后到美国、法国执教，并加入了法国籍。
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苏美数学争雄结束之后，美国数学一枝独秀。但是数学中心也呈现多元化趋势。俄罗斯数学的威势仍存，莫斯科和圣彼得堡都有十分优秀的数学家在工作。圣彼得堡走出了佩雷尔曼，一举解决“庞加莱猜想”，却拒绝接受菲尔兹奖章和克莱数学研究所的千年奖，堪称一代风范。以阿蒂亚为首的英国的牛顿数学研究所，法国的庞加莱数学研究所，德国的马克斯-普朗克数学研究所，日本京都大学的数学研究所，都是一定范围的数学研究中心。即使在美国，除了普林斯顿高等研究院之外，还有加州伯克利的美国数学科学研究所、明尼苏达的美国应用数学研究所，纽约大学的柯朗数学研究所也负盛名。
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目前国际数学大势是：美国继续领先，西欧紧随其后，俄罗斯蓄势待发，日本正在迎头赶上。至于中国数学，目前还是未知数。一旦潜在的力量释放出来，北京也许是又一个国际数学中心。
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近50年来，数学发展呈现出许多特点。