1701014840
数学文化教程 第二节 关系和函数
1701014841
1701014842
事物之间存在着各种各样的联系。例如人们之间的相互认识或血缘关系,学生成绩的优劣比较或兴趣的异同,运动队的强弱,城市之间公路连通,都是事物之间联系的例子。而事物的性质也只有从它们的相互联系中才能被认识。数学中有以下几种最基本的关系。
1701014843
1701014844
1.等价关系
1701014845
1701014846
人和人之间的血型、同乡、校友等关系是一种等价关系,它们具有如下的共同特性:
1701014847
1701014848
1)自反性 任何一个事物总可认为自己和自己有此关系,例如自己的血型总和自己的血型相同。如果我们把x和y有相同的血型记为x~y,则对于任何人,恒有x~x。
1701014849
1701014850
2)对称性 如果一个事物x与另一个事物y有此关系,则事物y与事物x也有此关系。例如甲和乙有相同的血型,则乙和甲也有相同的血型。用上面的记号,即为
1701014851
1701014852
若x~y,则y~x。
1701014853
1701014854
并不是所有的关系都有对称性。例如人们之间的认识关系就没有对称性:A认识B,记为A~B,但是B不一定认识A,即不一定有B~A。
1701014855
1701014856
3)传递性 如果事物x与事物y有此关系,事物y与另一个事物z也有此关系,则事物x与事物z也有此关系。例如甲和乙有相同的血型,乙和丙有相同的血型,则甲和丙也有相同的血型。用上面的记号,即为
1701014857
1701014858
若x~y,y~z,则x~z。
1701014859
1701014860
人们的认识关系也不一定有传递性。例如A认识B,B认识C,但A不一定认识C,即此时有A~B,B~C,但是A~C不一定成立。
1701014861
1701014862
数学中把满足上述三个性质的关系称为等价关系。同乡、同年、相同的血型等关系都满足这些要求,都是等价关系。
1701014863
1701014864
在实践中,我们常常利用等价关系对所研究的事物进行分类。分类是人们认识事物性质的一种方法,而按等价关系分类恰是一种分类的抽象方法,广泛地应用于各种具体情况。这种分类方法首先要找到事物间的等价关系,再按照等价关系把事物分类,使得属于同一类的事物相互之间都是等价的,不同类的事物都没有等价关系。这样得到的每一类称为一个等价类。例如,可以证明血型相同关系是一种等价关系。按此等价关系分类,就可以把人们分为四类:
1701014865
1701014866
A型、B型、AB型和O型。
1701014867
1701014868
等价关系是数学中最基本的研究对象。例如,几何学中三角形的全等,三角形的相似都是等价关系。在算术中,数的相等显然是等价关系。分数的相等,尤其引人注目。教科书中说的“分数基本性质”,实际上是一个相等性质。分数的一个重要特点是,一个分数可以有无限多种表示方式,例如
1701014869
1701014870
1701014871
1701014872
1701014873
这一系列的分数都是彼此相等的,组成了一个等价类。
1701014874
1701014875
在初中代数学中,代数式的恒等、函数的相等以及方程变形中的同解关系,也都是一种等价关系。进一步,我们会在现代数学中看到“命题的等价”、“群的同构”、“拓扑结构的等价”、“图的等价”等大量的等价关系。
1701014876
1701014877
2.序关系
1701014878
1701014879
先看所有自然数所组成的集合
1701014880
1701014881
N={1,2,3,…}.
1701014882
1701014883
两个自然数x和y之间的不等式x≥y表示了自然数x和y的大小关系,亦称序关系。这个不等式的含义是:或者x比y大,或者两者相等。序关系有下面的性质:
1701014884
1701014885
1)反对称性 若有两个自然数x和y同时有不等式:x≥y,y≥x则必然x=y。
1701014886
1701014887
2)传递性 若自然数x,y和z之间满足x≥y,y≥z,则必然x≥z。
1701014888
[
上一页 ]
[ :1.701014839e+09 ]
[
下一页 ]