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数学文化教程 [:1701013717]
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数学文化教程 第二节 关系和函数
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事物之间存在着各种各样的联系。例如人们之间的相互认识或血缘关系，学生成绩的优劣比较或兴趣的异同，运动队的强弱，城市之间公路连通，都是事物之间联系的例子。而事物的性质也只有从它们的相互联系中才能被认识。数学中有以下几种最基本的关系。
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1.等价关系
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人和人之间的血型、同乡、校友等关系是一种等价关系，它们具有如下的共同特性：
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1）自反性 任何一个事物总可认为自己和自己有此关系，例如自己的血型总和自己的血型相同。如果我们把x和y有相同的血型记为x～y，则对于任何人，恒有x～x。
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2）对称性 如果一个事物x与另一个事物y有此关系，则事物y与事物x也有此关系。例如甲和乙有相同的血型，则乙和甲也有相同的血型。用上面的记号，即为
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若x～y，则y～x。
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并不是所有的关系都有对称性。例如人们之间的认识关系就没有对称性：A认识B，记为A～B，但是B不一定认识A，即不一定有B～A。
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3）传递性 如果事物x与事物y有此关系，事物y与另一个事物z也有此关系，则事物x与事物z也有此关系。例如甲和乙有相同的血型，乙和丙有相同的血型，则甲和丙也有相同的血型。用上面的记号，即为
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若x～y，y～z，则x～z。
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人们的认识关系也不一定有传递性。例如A认识B，B认识C，但A不一定认识C，即此时有A～B，B～C，但是A～C不一定成立。
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数学中把满足上述三个性质的关系称为等价关系。同乡、同年、相同的血型等关系都满足这些要求，都是等价关系。
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在实践中，我们常常利用等价关系对所研究的事物进行分类。分类是人们认识事物性质的一种方法，而按等价关系分类恰是一种分类的抽象方法，广泛地应用于各种具体情况。这种分类方法首先要找到事物间的等价关系，再按照等价关系把事物分类，使得属于同一类的事物相互之间都是等价的，不同类的事物都没有等价关系。这样得到的每一类称为一个等价类。例如，可以证明血型相同关系是一种等价关系。按此等价关系分类，就可以把人们分为四类：
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A型、B型、AB型和O型。
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等价关系是数学中最基本的研究对象。例如，几何学中三角形的全等，三角形的相似都是等价关系。在算术中，数的相等显然是等价关系。分数的相等，尤其引人注目。教科书中说的“分数基本性质”，实际上是一个相等性质。分数的一个重要特点是，一个分数可以有无限多种表示方式，例如
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这一系列的分数都是彼此相等的，组成了一个等价类。
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在初中代数学中，代数式的恒等、函数的相等以及方程变形中的同解关系，也都是一种等价关系。进一步，我们会在现代数学中看到“命题的等价”、“群的同构”、“拓扑结构的等价”、“图的等价”等大量的等价关系。
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2.序关系
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先看所有自然数所组成的集合
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N={1,2,3,…}.
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两个自然数x和y之间的不等式x≥y表示了自然数x和y的大小关系，亦称序关系。这个不等式的含义是：或者x比y大，或者两者相等。序关系有下面的性质：
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1）反对称性 若有两个自然数x和y同时有不等式：x≥y，y≥x则必然x=y。
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2）传递性 若自然数x，y和z之间满足x≥y，y≥z，则必然x≥z。
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