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数学文化教程 [:1701013718]
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数学文化教程 第三节 群：代数结构
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数学研究的对象之一是结构。布尔巴基学派把数学看作是研究结构的学科。数学有三种母结构：代数结构，如群、环、域等；序结构，全序、偏序等；拓扑结构，邻域、距离空间、同伦、同调等。
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一个数学集合，其上规定了一些类似于加减乘除那样的运算并满足一定的条件，就成了代数结构。
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任意两个自然数相加总是一个自然数，我们把这种性质用“在自然数集合内加法可行”来描述。同样，任意两个自然数相乘也总是自然数，因而在自然数集合内乘法也是可行的。但是两个自然数相减不一定还是自然数，我们说“在自然数集合内减法不一定可行”。同样，在自然数集合内除法也不一定可行。
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由于减法和除法是加法和乘法的逆运算，我们看到，在一个集合内一种运算可行，其逆运算不一定可行。在整数集合内，加法可行，其逆运算减法也可行；乘法可行，其逆运算除法却不一定可行。等到把数的集合扩大为有理数范畴，则加法、乘法和它们的逆运算（作除法时规定除数不等于零）都可行。这种加减乘除都能进行的代数结构，称为“域”。有理数集合和实数集合都能构成“域”。
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现在，我们来看最简单的代数结构：群。
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设有一个集合G，其中的元素我们用a，b，…表示。假设在集合G内有一种运算，记为“°”：对G内的任意两个元素x和y，x °y仍然是G中的元素，即在G中运算“°”是可行的。如果集合G和运算“°”还满足以下几条性质，我们就称G为一个群：
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1）G不是一个空集，即G内至少含有一个元素（事实上空集没有什么好研究的）。
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2）结合律成立，即对任何元素a，b，c，恒有
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a°(b°c)=(a°b)°c.
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3）有单位元素存在，即G中有一个元素e有如下的性质：对任何a∈G，恒有e °a=a。
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4）逆运算可行，即对任何a∈G，在G中有一个元素a-1，称为a的逆元，使a-1°a=e。
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例1 整数关于加法成群。此时群的定义中的运算“°”就是普通的加法。单位元e=0，任何一个数a的逆元a-1就是a的相反数，即a-1=-a。
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例2 正有理数关于乘法成群。此时群的定义中的运算“°”就是普通的乘法。单位元e=1，任何一个数a的逆元a-1就是a的倒数，即。
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例3 我们把在队列操练中的几个动作用记号表示出来：
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保持不动记为R0，向右转记为R90，向左转记为R-90，向后转记为R180。记这些动作组成的集合为M。
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在M内规定两个动作的“°”运算为两个动作相继进行的结果，如R90 °R-90表示先向右转再向左转，结果是保持原来的状态，即R90 °R-90等于集合中的元素R0。由于任意两个动作的结果总是这四个动作之一，所以M关于运算“°”总是可行的。进一步，M还关于这种运算“°”成群：其中的单位元e=R0，各元素的逆元如下表所示：
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例4 由“非”和“是”组成集合M={非，是}，用下列各等式规定M内的乘法×：
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是×是=是；
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是×非=非；
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非×是=非；
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非×非=是。
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可以验证：集合M和关于这样规定的乘法满足所有群的要求：其单位元为e=“是”，因为“是×非=非”，“是×是=是”；每个元素的逆元为自己。