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▲ 图3.4.1 一根圆形橡皮圈的可能和不可能变形
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▲ 图3.4.2 橡皮球的可能变形
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的子午线切开时，环面就变成一个弯曲的圆筒形（图3.4.3），而这个圆筒形又可以用拓扑变换变成圆柱形的侧面。）这是球面与圆环面不同的拓扑性质。
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在拓扑学中，用“连通阶”的概念来描述曲面的差别。
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沿着子午线切开像救生圈那样的环面时，环面不会分开为两个互不连接的部分。这时我们说，环面上的子午线“不形成对曲面的划分”。
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在环面上，经线也不形成对曲面的划分（见图3.4.4）。
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在环面上可以找到两条闭曲线，一条是子午线，一条是经线，它们组合起来仍不能形成对曲面的划分。但是，在环面上不可能找到第三条闭曲线，使这三条曲线合起来不形成对曲面的划分。这也就是说，环面上的任何三条闭曲线必定分环面为两个互不相连接的部分。这时拓扑学定义环面的连通阶为2。
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对一般曲面，连通阶定义为曲面上能不形成对曲面划分的最多闭曲线的数目。对球面而言，其连通阶为0。如图3.4.5那样的面包和双柄壶，其连通阶都是4。一般地，若在球面上开2p个小洞，然后按两个一组配成p组，对每一组沿洞的边缘粘上一个圆柱面，这样得到了一个有p个把柄的球面。这样的曲面的连通阶是2p。环面就是p=1的情况。数学家们证明，空间的闭曲面可以按连通阶分类：任何两个相同连通阶的曲面可以从一个用拓扑变换变成另一个。
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▲ 图3.4.3 环面切开后变成一个弯曲的圆筒形
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▲ 图3.4.4 在环面上，经线不形成对曲面的划分
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▲ 图3.4.5 连通阶为4的曲面
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但是这里仅限于双侧曲面，即它们分得出内侧与外侧。与这种曲面并存的还有所谓的单侧曲面。对单侧曲面来说，分不出曲面的两侧。最简单的例子是默比乌斯带。把一个矩形的纸条ABCD的AB边翻转和CD边黏合，使A和C黏合，B和D黏合（图3.4.6）。
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默比乌斯带不能区分两侧。从带上一点E沿着带的中线移动，移动一周后回到E点，虽然没有经过带的边界，但是已经到了与出发时不同的一侧。此外，默比乌斯带的边界由单独一条闭曲线组成。
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默比乌斯带是有边界的曲面，同样也存在单侧的闭曲面，即存在没有边界的单侧曲面。典型的例子是图3.4.7上的克莱茵曲面。设想把两条默比乌斯带沿边界上相互黏合起来可以得到克莱茵曲面。
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对单侧曲面也有上面所述的按连通阶分类的方法，但是各类曲面较难表现出来。
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2.多面体的欧拉公式
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对于一个多面体，我们用V表示其顶点数，用E表示其棱的数目，F表示其面的数目。数学家笛卡儿和欧拉先后独立地发现：对于任何的简单多面体，下面的公式总成立：
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