1701015039
1701015040
1701015041
1701015042
▲ 图3.3.1 正方形的翻转
1701015043
1701015044
1701015045
1701015046
1701015047
▲ 图3.3.2 平面有限图形的对称群分类
1701015048
1701015049
(1)仅由单位(恒等或不动)变换所组成的对称群K1。这是任意非对称形的对称群。
1701015050
1701015051
(2)由单位变换及关于某一直线的翻折组成的对称群K2。
1701015052
1701015053
(3)只由一些旋转组成的对称群K3,但其中不含作任意小角度的旋转。
1701015054
1701015055
(4)只由一些旋转组成的对称群K4,其中含有作任意小角度的旋转。此时,作任意角度α的旋转仍属于群K4。这里的所有的运动或是图形本身或是旋转,排除了关于直线的翻转。这是平面上有方向的圆或有方向的圆环的对称群。
1701015056
1701015057
1701015058
(5)设在平面上有n条过图形重心O点的直线,这些直线分平面为2n个等角。对称群K5由关于这些直线的n种翻转以及绕O旋转的倍角而生成。具有这样对称群的图形包括正2n边形。
1701015059
1701015060
(6)由绕图形重心O点所有旋转及关于所有过O点的直线的翻转生成的对称群K6。无方向圆及无方向圆环可作为它的例子。
1701015061
1701015062
由上可见,群的概念把一些本来似乎没有关联的对象,赋予一定的结构,从而可以探索其间的规律。
1701015063
1701015064
数学智慧使人聪明,这又是一例。
1701015065
1701015066
1701015067
1701015068
1701015070
数学文化教程 第四节 橡皮几何:拓扑结构
1701015071
1701015072
古老的橡皮几何游戏是让游戏者在保持曲面的光滑和完整的前提下,将其任意地变形、弯曲、伸缩和扭转,想象变形后的曲面会是什么样子?一个自行车轮胎状的环面是否会变形为一个球面?这些研究到19世纪发展成为一门新的数学分支——拓扑学。
1701015073
1701015074
1.拓扑学大意
1701015075
1701015076
假设我们的图形是用橡皮做成的,可以使图形作各种连续变形。我们要求图形在变形的过程中保持连续而不致破裂,即原来图形上的一个点不能变成两个或两个以上的点;同时要求,图形上的点不能产生“黏合”,即原来两个不同的点在变化后都不能“黏合”成一个点。变形只是使图形的某些部分扩伸了,而另一些部分压缩了。
1701015077
1701015078
一般地说,图形在连续变形时大小、长短、形状都会改变,但是有些性质却保持不变。例如,我们可以把一根圆形的橡皮圈拉长为一个狭长的椭圆形,也可以把它变成正方形的形状,或者变成其他奇形怪状的曲线。图3.4.1(a)画出了一些它可能变成的形状。但是圆形的橡皮圈不能变成图3.4.1(b)中的“8”字形和三叶瓣曲线。
1701015079
1701015080
若要变成“8”字形,必须把原先两个不同的点黏合为一个点;要变成三叶瓣曲线,必须把原先三个不同的点黏合为一个点。而这违反了“不能黏合”的变化规定。我们把所规定的变形(即可以拉伸压缩、扭曲,不能黏合)称为“拓扑变换”(数学中的拓扑变换比这种直观的变形还要广一些)。在这种变换下不变的性质称为“拓扑性质”。图中的圆周在其变形过程中所保持的不变性质就是只有一个环,这是圆周的拓扑性质。“8”字形和三叶瓣曲线分别有2个和3个环,与圆周有不同的拓扑性质。拓扑学以图形的拓扑性质作为自己的研究对象。
1701015081
1701015082
现在考察一个球面。我们仍然把它设想为一个可以变形的橡皮球。用拓扑变换把它变成不同的形状(图3.4.2是其中的一些)。
1701015083
1701015084
但是我们不能把它变成像救生圈那样的环面。事实上,在拓扑变换下球面有两个不变的性质,即两个拓扑性质:
1701015085
1701015086
1)球面是闭曲面,它没有边界。(像救生圈那样的环面也没有边界,圆盘面是有边界的,圆柱面、圆锥面也是有边界的。)
1701015087
1701015088
2)如果沿着球面上的任何一条闭曲线切开橡皮球,橡皮球就会分成互不连接的两部分。(像救生圈那样的环面就不具有此性质。当沿着环面
[
上一页 ]
[ :1.701015039e+09 ]
[
下一页 ]