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▲ 图3.3.1 正方形的翻转
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▲ 图3.3.2 平面有限图形的对称群分类
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（1）仅由单位（恒等或不动）变换所组成的对称群K1。这是任意非对称形的对称群。
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（2）由单位变换及关于某一直线的翻折组成的对称群K2。
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（3）只由一些旋转组成的对称群K3，但其中不含作任意小角度的旋转。
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（4）只由一些旋转组成的对称群K4，其中含有作任意小角度的旋转。此时，作任意角度α的旋转仍属于群K4。这里的所有的运动或是图形本身或是旋转，排除了关于直线的翻转。这是平面上有方向的圆或有方向的圆环的对称群。
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（5）设在平面上有n条过图形重心O点的直线，这些直线分平面为2n个等角。对称群K5由关于这些直线的n种翻转以及绕O旋转的倍角而生成。具有这样对称群的图形包括正2n边形。
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（6）由绕图形重心O点所有旋转及关于所有过O点的直线的翻转生成的对称群K6。无方向圆及无方向圆环可作为它的例子。
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由上可见，群的概念把一些本来似乎没有关联的对象，赋予一定的结构，从而可以探索其间的规律。
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数学智慧使人聪明，这又是一例。
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数学文化教程 第四节 橡皮几何：拓扑结构
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古老的橡皮几何游戏是让游戏者在保持曲面的光滑和完整的前提下，将其任意地变形、弯曲、伸缩和扭转，想象变形后的曲面会是什么样子？一个自行车轮胎状的环面是否会变形为一个球面？这些研究到19世纪发展成为一门新的数学分支——拓扑学。
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1.拓扑学大意
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假设我们的图形是用橡皮做成的，可以使图形作各种连续变形。我们要求图形在变形的过程中保持连续而不致破裂，即原来图形上的一个点不能变成两个或两个以上的点；同时要求，图形上的点不能产生“黏合”，即原来两个不同的点在变化后都不能“黏合”成一个点。变形只是使图形的某些部分扩伸了，而另一些部分压缩了。
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一般地说，图形在连续变形时大小、长短、形状都会改变，但是有些性质却保持不变。例如，我们可以把一根圆形的橡皮圈拉长为一个狭长的椭圆形，也可以把它变成正方形的形状，或者变成其他奇形怪状的曲线。图3.4.1（a）画出了一些它可能变成的形状。但是圆形的橡皮圈不能变成图3.4.1（b）中的“8”字形和三叶瓣曲线。
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若要变成“8”字形，必须把原先两个不同的点黏合为一个点；要变成三叶瓣曲线，必须把原先三个不同的点黏合为一个点。而这违反了“不能黏合”的变化规定。我们把所规定的变形（即可以拉伸压缩、扭曲，不能黏合）称为“拓扑变换”（数学中的拓扑变换比这种直观的变形还要广一些）。在这种变换下不变的性质称为“拓扑性质”。图中的圆周在其变形过程中所保持的不变性质就是只有一个环，这是圆周的拓扑性质。“8”字形和三叶瓣曲线分别有2个和3个环，与圆周有不同的拓扑性质。拓扑学以图形的拓扑性质作为自己的研究对象。
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现在考察一个球面。我们仍然把它设想为一个可以变形的橡皮球。用拓扑变换把它变成不同的形状（图3.4.2是其中的一些）。
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但是我们不能把它变成像救生圈那样的环面。事实上，在拓扑变换下球面有两个不变的性质，即两个拓扑性质：
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1）球面是闭曲面，它没有边界。（像救生圈那样的环面也没有边界，圆盘面是有边界的，圆柱面、圆锥面也是有边界的。）
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2）如果沿着球面上的任何一条闭曲线切开橡皮球，橡皮球就会分成互不连接的两部分。（像救生圈那样的环面就不具有此性质。当沿着环面