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下面我们就对图3.4.9（a）中的简单多面体来证明欧拉公式。证明的方法可以用于一般的简单多面体。这个证明富有启发性，对理解数学证明不无好处。
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我们设想该多面体是空心的，且表面是由橡皮做成。我们割去多面体的一个面CGHF，对剩下的表面作拉伸、压缩等连续变形（拓扑变换），把剩下的部分展平在平面上。
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▲ 图3.4.8 简单多面体
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▲ 图3.4.9
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此时我们可以再进一步变形，让每一条边仍然是直线段。在这个变形的过程中，这部分的各个面的面积、棱的长度、棱与棱的夹角等都会发生变化。但是，在平面上展平后得到的网络所包含的顶点的数目和棱的数目，仍和原来多面体的顶点数和棱数一样多。不同的是，网络所含多面体的多边形的数目，比原来多面体的面数少1（因为展平前已经去掉了一个面CGHF）。这样，我们只要证明，对于平面网络，下述公式（2）成立：
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V-E+F=1.(2)
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首先，我们把平面网络“分成三角形”：若网络的多边形不是三角形，就用添加边的方法使网络内的多边形都变成三角形（图3.4.9（b））。注意每加一条边，同时也增加了一个面，但是顶点数不变。因此增加边的方法不会改变公式（1）左边V-E+F（=顶点数-棱数+面数）的数值。这说明只要讨论网络的多边形都是三角形的情况。
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其次，在网络的三角形中，有些三角形的边在网络的边界上。例如图3.4.9（b）中三角形DGC，有一条边GC在网络边界上。也可能网络的三角形有两条边在边界上，如图3.4.9（c）中三角形ADC的AC和DC在边界上。我们取一个这样的三角形，去掉不属于其他三角形的部分。例如取图2.4.9（b）三角形DGC，去掉边GC和一个面，保留顶点D、G、C和边DG和DC。这时，三角形DGC减少了一条边和一个面，V-E+F（=顶点数-棱数+面数）的数值不变。而对图2.4.9（c）中三角形ADC，去掉边AC、DC一个顶点C和一个面ADC，保留顶点A、D和边AD。这时三角形ADC减少了两条边、一个面和一个顶点，V-E+F的数值仍然不变。用这种方法依次去掉边在网络边界的三角形，而每次都不会改变V-E+F的数值。由于去掉这样的三角形后会使一些原来没有边在网络边界的三角形变成边在网络边界的情况，这个过程到有限步后得到只剩下一个三角形。而对一个三角形来说，V-E+F=顶点数-棱数+面数=3-3+1=1。由于原先的多面体比网络多一个面，因而对多面体来说，公式（1）成立。
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3.地图的四色问题
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1852年，英国业余数学家弗朗西斯·格斯里在为英国分郡地图着色时，发现了一个看似简单但他却无法回答的问题：为任何地图着色，并使任何两个有公共边界的区域的颜色都不同，那么最少需要多少种颜色？
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对于图3.4.10所示的包括四个国家的地图，显然需要四种颜色。但是格斯里想知道对所有的地图而言，四种颜色是否足够，是否有些地图一定要5种、6种或更多的颜色？他后来又辗转向著名的数学家德·摩根请教。德·摩根不能回答这个问题，但是他证明了，任何地图上不会有这样的五个国家存在，其中每一个国家都和其余四个相邻。这个结论使他相信，给任何地图着色不需要五种颜色。进一步他猜想：
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任何平面地图只用四种颜色就能使具有相同边界的国家染有不同的颜色。
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这就是所谓的“四色猜想”。四色猜想是拓扑学中的著名问题。德·摩根关于地图上不会有五个国家彼此都相邻的论据并不能作为四色猜想的证明，这里的关键问题可以用图3.4.11来说明：虽然图中的任何四个国家都不会和其他三个国家相邻，但是仍需要四种颜色才能使相邻国家不同色。
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这里说的相邻国家指的是有相同的边界，而不是只有相同的一个或几个点。所谓的国家，这里假设是一个连通的区域，即区域内任何两点可以用一条完全在区域内的曲线连接起来。如果有一个国家由几个连通的区域组成，这几个区域彼此不相连通，则可以用一些具体地图说明四色猜想不成立。
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▲ 图3.4.10
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▲ 图3.4.11
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1890年达勒姆大学的数学家希伍德证明了：对任何平面地图，五种颜色总是足够的。但是，四种颜色是否同样够用仍在很长一段时间内未能证明。从19世纪中叶以来，许多著名的数学家（还有无数业余的数学家）在四色问题上倾注了大量的精力。在这个实用价值微小的问题上，数学家如此孜孜不倦地探究问题的答案，事实上它与数学发展过程的一些根本问题有关。
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经过许多数学家的努力，把四色问题归结为近两千种情况下的证明。但是靠人工一个一个地完成判断和证明是不可能的。终于在1976年，三位美国科学家阿沛、哈肯和摩尔借助于当时先进的计算机，花了1 200小时，作了近100亿个逻辑判断，才最终证明了四色问题。
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